Gruppen in Z (ganzer Zahlen) mit Verknüpfungen 2a+2b

Question

Weisen Sie nach, ob es sich bei (ℤ, ♦) um eine Gruppe handelt und begründen Sie.

♦: ℤXℤ  , (a,b) ↦ 2a+2b

Ich bin soweit vorgegangen:

(Abgeschlossenheit)

2a+2b=2(a+b) ∈ ℤ

(Neutrales Element)

2a+2e=a
2e=a-2a
2e=-a
e= (-a/2)  ∉ ℤ

Dadurch ist (ℤ.,♦) keine Gruppe
Ist das soweit richtig? Mir kommt das mit dem neutralen Element, irgendwie falsch vor.

Answer 1

Die letzte Überlegung ist falsch:

richtig bis  2e=-aDann aber etwa so: Es gibt kein e aus Z mit 2e = -a 

für ALLE a aus Z.  Denn gäbe es ein neutr. El. dann müsste das

für alle a ja    a♦e = a   ergeben, es darf also nicht von a abhängen.