Verknüpfungen ∗ auf der Menge G, die G zu einer Gruppe mit neutralem Element e machen.

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie alle Gruppen mit vier Elementen. Das heißt, gegeben eine Menge
G = {e, a, b, c} mit vier Elementen, bestimmen Sie alle möglichen Verknüpfungen ∗
auf der Menge G, die G zu einer Gruppe mit neutralem Element e machen. Welche
dieser Gruppen sind abelsch?

Comments

Hast du schon versucht, passende Verknüpfungstabellen aufzustellen?

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Wenn du dann die Verknüpfungstabellen hast, vergleichst du noch mit https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

Answer 1

Fang mal eine Gruppentafel an. Sieht dann 

ja so aus, wenn e das neutrale El .ist.

    *         e           a           b         c

e            e           a           b         c

a           a           ?            ?         ?

b          b           ?            ?         ?

c          c          ?            ?         ?

So sehr viel bleibt dann ja nicht übrig; denn es muss in jeder

Zeile ein e vorkommen, da jedes El. ein Inverses haben muss.

Also probier mal durch:  1. ? ein e , dann sieht es so aus:

  *         e           a           b         c

e           e           a           b         c

a           a           e            ?         ?

b          b           ?            ?         ?

c          c           ?            ?         ?

Außerdem kann in keiner Zeile oder Spalte ein Element

doppelt vorkommen, wegen der Kürzungsregel.

Also bleibt in der 3. Zeile nur noch sowas:

  *         e           a           b         c

e           e           a           b         c

a           a           e           c          b

b          b           ?            ?         ?

c          c           ?            ?         ?

und so bekommst du den Rest auch schnell ergänzt.

Dann gehe zurück zum Anfang und versuch das 1. 

Fragezeichen anders zu ersetzen und beachte den

Kommentar  von Lu.

Comments

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

Aber wie Bestimmt man jetzt alle Gruppen mit 4 Elementen? Sind es die vier Zeilen aus der Tabelle ?

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Was du hast, ist ja eine Möglichkeit.

Ausgehend von a*a=e gab es da 

keine andere Möglichkeit.

Dann versuche es an der Stelle

mal anders. Dann erhältst du die

andere Möglichkeit. Mehr gibt es nicht. 

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Dann erhältst du die andere Möglichkeit. Mehr gibt es nicht. 

Setzt eine Interpretation des "Mehr"-Begriffs voraus, die sich nicht zwingend aus dem Wortlaut der Aufgabenstellung ergibt