Zu (i)
Da $$ A^2 +A^4 + E = 0 $$ gilt, teilt das Minimalpolynom das Polynom von \( A \) das Polynom \( p(t) = 1 + t^2 +t^4 \). Da das Polynom \( p(t) \) aber keine reellen Nullstellen hat, hat auch das Minimalpolynom keine reellen Nullstellen. Die Nullstellen des Minimalpolynoms stimmen aber mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein. Also hat auch dieses keine reellen Nullstellen.
zu (ii)
Es gilt \( D_1 = C^{-1} A C \) und \( D_2 = C^{-1} B C \) mit \( D_i \) sind Diagonalmatrizen.
Also folgt
$$ A B = C D_1 C^{-1} C D_2 C^{-1 } = C D_1 D_2 C^{-1} $$ und
$$ B A = C D_2 C^{-1} C D_1 C^{-1} = C D_2 D_1 C^{-1} $$
Da aber Diagonalmatrizen vertauschbar sind, gilt
$$ A B = B A $$
