Finden Sie eine unitäre Matrix C - Hilfe beim finden der Eigenvektoren zu den Eigenwerten.

Question

A={{3/2,i/2},{-i/2,3/2}}  zu finden ist die Unitäre Matrix C und die Diagonalmatrix B.

Als EW hab ich x₁=2 und x₂=1 heraus. Eingesetzt in den Vektor ergibt das für x₁=2 {{-1/2,i/2},{-i/2,-1/2}} und hab das dann auf{{-1/2,i/2},{0,0}} gebracht den anderen Vektor analog auf am Ende {{1/2,i/2},{0,0}}.

Das hab ich dann als -1/2x+i/2y=0 bzw. 1/2x+i/2y=0 aufgeschrieben.

An der Stelle komme ich jetzt nicht weiter. Ich weiß, dass für den Wert 2 der Eig({-i,1}) sein soll und für den Wert 1 der Eig({i,1}). Ich komme nur nie auf das Ergebnis. Könnte mir da an der Stelle jemand weiterhelfen?

Comments

Sei \(v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb C^2\) ein Eigenvektor von \(A\) zum Eigenwert \(\mu=2\).
Dann gilt \(-\frac12x+\frac12iy=0\Leftrightarrow x=iy\), also \(v=\begin{pmatrix}iy\\y\end{pmatrix}=y\cdot\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}\).
Also ist \(\operatorname{Eig}(A,2)=\operatorname{span}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}\).

Answer 1

Die Eigenwerte stimmen.

Eig(A,2) siehe Kommentar und

Eig(A,1) :  entsprechend span (  - i ; 1 )  .

Also Matrix C =

- i   i
1   1 

und in der Tat

C^-1 * A * C =

1  0
0  2     Diagonalmatrix mit den Eigenwerten.

Comments

Danke und die C^-1={{-i,1},{i,1}} oder ist da noch ein Fehler?

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nein 
C ^-1 = {{i/2,1/2},{ - i/2 ,1/2 }}

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Ok auf das {{i,1},{-i,1}} bin ich jetzt auch gekommen nur nicht auf die zwei wenn ich den Vektor normiere hab ich √2 heraus oder musisch den dann noch quadrieren?

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Ach so, an das Normieren habe ich nicht gedacht.

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^--C^-t ist in diesem Fall die Transponierte der komplex konjugierten Matrix C. Du nimmst also deine normierte Matrix C, unterziehst sie den beiden genannten Operationen und erhältst  ^--C^t.

Die Wurzel von 2 verschwindet, wenn du ^--C^t * A * C multiplizierst. Als Ergebnis erhältst du dann die o.g. Matrix B.

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Kannst du mir vielleicht mal die Rechnung dazu aufschreiben? Ich komm auf alles möglich nur nicht auf das gewünschte bei C^-1−

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Das obige C^-1 ist in dem Zusammenhang auch nicht das Gesuchte.

Du hast doch vorhin deine normierte Matrix C gepostet:

C = (1 / sqrt(2)) * (-i   i)

                            (1  1)

Diese komplex konjugieren und transponieren und du erhältst ^--C^t.