Dreieckskonstruktion, 8. Klasse. Gegeben sind beta, Ankreisradius von b, Umkreisradius r

Question

Gegeben sind beta, ankreisradius von b, umkreisradius r

Gesucht ist der Konstruktionsbericht und der Winkel CMA

Comments

Was meinst du mit ankreisradius von b ?

Soll das vielleicht der Inkreisradius ρ (griechisches rho) sein? 

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Ein Ankreis liegt außerhalb des Dreiecks, berührt eine Dreiecksseite und die Verlängerung der beiden anderen Dreiecksseiten

Answer 1

Planfigur:

Mit der Aufgabenstellung bin ich auf keinen grünen Zweig gekommen. Ich gehe davon aus, dass die Dreieckskonstruktion den Winkel \(β\) bei B, den Inkreisradius \(\blue{d}\) und den Ankreisradius von \(b\)   \(\red{q}\) als gegebene Daten beinhalten.

Konstruktion des Dreiecks A, B, C ( Kurzform):

1. Winkel bei B mit den beiden Schenkeln. Diese sind die gemeinsamen äußeren Tangenten des Inkreises und des Ankreises.

2. Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels  \(β\) bei B. Auf dieser Winkelhalbierenden liegen die Mittelpunkte \(\blue{In}\) des Inkreises  und \(\red{An} \) des Ankreises.

3.Finden von \(\blue{In}\): Parallele zur  gemeinsamen äußeren Tangente im Abstand \(\blue{d}\) schneidet die Winkelhalbierende in  \(\blue{In}\)

4.  Finden von \(\red{An}\):   Parallele zur gemeinsamen äußeren Tangente im Abstand \(\red{q}\) schneidet die Winkelhalbierende in \(\red{An}\)

5. Die Punkte A und C werden durch die innere Tangente von 2 Kreisen gefunden.

Folgende Zeichnung zeigt den Weg zu den inneren Tangenten:

Comments

Mit der Aufgabenstellung bin ich auf keinen grünen Zweig gekommen.

Die Aufgabenstellung ist eindeutig: Gegeben sind die Radien des Umkreises und des Ankreises an \(b\) und der Winkel \(\beta\). Nach der üblichen Benamsung eines Dreiecks ist eindeutig, was gemeint ist.

Gegeben sind die beiden schwarzen Radien und der Winkel \(\beta\) beim Punkt \(B\). Gesucht ist das Dreieck \(\triangle ABC\)

Als ich diese Aufgabe vor Jahren zum ersten Mal gesehen hatte, hatte ich zunächst erfolglos nach einer Lösung gesucht. Durch Zufall bin ich dann viel später über etwas gestolpert, was der Schlüssel zur Lösung ist.

Um dorthin zu komme muss man sich eine bestimmte Frage stellen. Die Frage zu sehen erwies sich dabei als schwieriger als die Antwort darauf im Netz zu finden ;-)

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Danke dir!

Heureka

Ich lasse es mal noch offen, was der Schlüssel ist. Andere mögen vielleicht auch noch rätseln!

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Wir können das Dreieck AMC konstruieren. Das schöne ist, dass alle Ankreismittelpunkte an die Seite b auf einer Kurve liegen. Jetzt gilt es nur die Punkte der Kurve zu finden, die den Abstand des Ankreisradius von der Geraden durch A und C haben.

Das gibt dann zwei zueinander symmetrische Lösungen.

Obwohl das nicht schwer war, hätte ich das mit dem Wissen der 8. Klasse noch nicht hinbekommen.

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Wir können das Dreieck AMC konstruieren.

Welcher Punkt ist \(M\) ?

Das schöne ist, dass alle Ankreismittelpunkte an die Seite b ...

nach meinem Verständnis gibt es genau einen Ankreis an \(b\). Siehe Skizze oben. Wie meinst Du das?

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Ich denke mal M soll der Mittelpunkt des Umkreises sein.

Es gibt genau einen Ankreis, wenn neben AMC auch B bekannt ist. B hat man aber noch nicht und dann liegen alle möglichen Ankreismittelpunkte von b auf einer Kurve.