Bestimmen einer Determinante mit a auf der Hauptdiagonalen

Question

Kann mir vielleicht einer bei dieser Aufgabe helfen, ich lerne zur Zeit für eine klausur und weiß nicht ganz, wie ich mit dieser Aufgabe umgehen soll.

Schon mal danke!

Comments

die Aufgabe lautet : 
Bestimmen Sie für alle a ∈ ℝ, n ≥ 1 die Determinante der Matrix 

A_{n =} ( a 1 1 ..  ... 1)

        (1 a 1 .....   1)

        ( 1 1 a 1 ... 1)

        (..... ........ .. . .)

       ( 1  1 ....  1 a )       also mit a's auf der Hauptdiagonalen.

Ich habe irgendwie schon alle uns aus der Vorlesung bekannten Det.-Bestimmungsverahren auf diese Matrix angewendet, jedoch erhalte ich keine klaren Ergebnis .
Danke

Answer 1

berechne mal für niedrige n die Determinante aus:

n=1: a=(a-1)^0(a+0)

n=2: a^2-1=(a-1)(a+1)

n=3: a^3-3a^2+2=(a-1)^2(a+2)

Vermutung: det(An)=(a-1)^{n-1}*(a+n-1)

Beweise die Vermutung mit vollständiger Induktion!

Comments

Und wie soll ich dann den induktionsschritt anfangen ?

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Betrachte die Matrix A_n+1 und entwickle die Determinante nach einer Zeile oder Spalte. Dann kannst du die Induktionvoraussetzung verwenden.

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Für n=3 gilt jedoch  : a³-3a+2

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Danke für den Hinweis, da hatte ich mich auf der linken Seite verschrieben.

Answer 2

Ziehe Zeile 1 von allen anderen ab.

Addiere dann alle Spalten zur Spalte 1.