Kartenspiel, Stochastik

Question

Es wird ein Spiel gespielt. Zwei Spieler spielen es. Es werden 32 Karten benutzt. 16 der 32 Karten sind auf einer Seite rot, die anderen 16 sind schwarz. Anhand ihrer Rückseiten sind die Karten nicht zu unterscheiden. Das Spiel besteht aus 10 Runden. In jeder Runde zieht ein Spieler eine Karte, deckt sie auf und steckt sie wieder in den Stapel. Zieht der Spielpartner danach die gleiche Farbe, hat er die erste Runde gewonnen. Nach jeder Runde wird die Reihenfolge der Ziehenden gewechselt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

1: Spieler A gewinnt die erste Runde und von den restlichen neun noch genau 5.

Nachdem die beiden Spieler 15 Runden gespielt haben, steht es 8 zu 7 Siege für Spieler A. Sie beschließen noch genau 5 Runden zu spielen. Wer dann mehr als die Hälfte der 20 Runden gewonnen hat, ist Gewinner des Spiels.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler B noch genau 4 der 5 Runden gewinnt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler A das Spiel gewinnt. 

Answer 1

Wie ich das sehe ist das eine Binomialverteilung mit der Einzelwahrscheinlichkeit p = 1/2.

1: Spieler A gewinnt die erste Runde und von den restlichen neun noch genau 5. 

P(1) = 1/2 · (9 über 5)·(1/2)^9 = 63/512

Der Rest sollte ähnlich gerechnet werden können.

Answer 2

es liegt hier ein Zufallsexperiment vor, bei dem die gezogenen Karten auch wieder zurückgelegt werden. D.h. die Gewinnwahrscheinlichkeit ändert sich pro Runde nicht. Da Du das Experiment mehrfach hintereinander durchführst (\(n=10\)), ist die Benoulli-Kette das Mittel der Wahl. Die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Runde liegt bei \(\dfrac{16}{32}=\dfrac{1}{2}\).

Wenn nun Spieler A die erste Runde gewinnt und in den verbleibenden 9 noch genau 5 weitere, dann liegt die Wahrscheinlichkeit dafür bei: $$\underbrace{\left(\dfrac{1}{2}\right)}_{\text{erste Runde}}\cdot\binom{9}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^5\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{9-5}=\dfrac{63}{512}\approx 0.123=12.3\%$$ Die restlichen Teilaufgaben werden ebenfalls nach diesem Schema berechnet.

Melde Dich bei Rückfragen gerne wieder.

André, savest8