Gegeben ist die Folge:
a0= 1
an+1= 1/2*(an+2/an)
Wie zeige ich, dass sie Folge monoton fallend ist, habe bis jetzt keine sinnvollen Ergebnisse bekommen
Schonmal danke für die Hilfe
Bilde die Differenz an - an+1 .Das gibt nach Umformen(an2 - 2 ) / (2an )
beachte, dass die Folge nur für \(n>0\) monoton fallend ist.Zunächst zwei Vorbereitungen:\((1)\) Es ist klar, dass \(a_n>0\) für alle \(n\) gilt.$$\text{(2) }a_{n+1}^{\,2}-2=\frac14\left(a_n+\frac2{a_n}\right)^{\!2}-2=\frac14\left(a_n-\frac2{a_n}\right)^{\!2}\ge0.$$Damit kannst du nun die Behauptung zeigen:$$\text{(3) }a_n-a_{n+1}=a_n-\frac12\left(a_n+\frac2{a_n}\right)=\frac{a_n^{\,2}-2}{2a_n}\ge0.$$Gruß
Irgendwie brauchst da aber noch an2≥ 2 , sonst ist der letzte Nenner negativ.Quatsch, das hattest du ja gerade gezeigt.
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