Trigonometrie, zwei sinusförmige Wechselströme

Question

Aufgabe:

Zwei sinusförmige Wechselströme sollen additiv überlagert werden. Den jeweiligen Spannungsverlauf beschreiben die Funktionsgleichungen

$$ U1 = 200V  \cdot sin (  \omega  \cdot t - 45 Grad) \\ U2 = 200V  \cdot sin (  \omega  \cdot t + 45 Grad) $$

a) Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kurve und bestimmen Sie daraus die Funktionsgleichung.

b) Ermitteln Sie rechnerisch die resultierende Funktion.

Answer 1

betrachte der Einfachheit halber die Funktionen

f(x)=sin(x-pi/4)

g(x)=sin(x+pi/4)=sin(x-pi/4+pi/2)=COS(x-pi/4)

Setze z=x-pi/4

Dann bleibt zu lösen

sin(z)+COS(z)=A*sin(z+phi)

Löse die rechte Seite mit Additionstheoreme auf:

sin(z)+COS(z)=A[sin(z)COS(phi)+COS(z)sin(phi)]

Vergleiche die Koeffizienten vor sin(z) bzw. COS(z)

1=A*COS(phi)

1=A*sin(phi)

Aus A^2=A^2 COS^2 (phi)+ A^2 sin^2 (phi)

=1+1

folgt A=sqrt(2)

Aus tan(phi)=A*sin(phi)/(A*cos(phi))

=1/1 folgt phi=pi/4

Damit ist sin(z)+COS(z)=sqrt(2)sin(z+pi/4)

Rücksubstitution  von z:

Damit ist f+g =sqrt(2)*sin(x)

Damit ist U_1+ U_2 = sqrt(2)*200V *sin(wt)

Answer 2

~plot~ 2*sin(x-pi/4);2*sin(x+pi/4);2*sin(x-pi/4)+2*sin(x+pi/4) ~plot~


rechnerisch mit dem Additionstheorem

sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)

Comments

Wie genau addiert man die beiden Sinusfunktionen mit dem Additionstheorem?

Die erste Formel hier https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identitäten) könnte da nützlich sein.