Untersuche, ob die Vektortripel einer Basis von R³ entsprechen (Linearkombination und Basis)

Question

Gegeben sind einmal : a1 ( 1: 1 :2) a2 (2: 0 :2) und a3 (3: 2: 5) [1. Angabe]
zum anderen sind gegeben: a1 (1: 1: 2) a2 (2: 0: 2) und a3 (3: 2: 3) [2. Angabe]

Daraus sollten wir untersuchen, ob diese Vektortripel eine Basis von R³ entsprechen. Soweit so gut.

Ich habe diese Vektoren mit dem Jorden-Gauß-Verfahren gelöst und festgestellt, dass die erste Angabe linear unabhängig und die 2. linear abhängig ist. Dennoch bin ich mir unsicher, welche von den beiden die Basis R³ entspricht.

Dazu kommt die Frage, ob man in beiden Fällen b1 (0: 0: 2) und b2 (2: 2: 1) eine Linearkombination mit a1, a2 und a3 möglich ist. Falls ja schildern Sie bitte das Ergegnis.

Habe die Formel: a1= λ•b1 und so weiter gerechnet. Aber dann ist mir aufgefallen, dass ich nur die Unabhängigkeit berechnet habe. Habe leider im Buch nichts gefunden.

Answer 1

Dennoch bin ich mir unsicher welche von den beiden die Basis R³ entspricht.

3 linear unabhängige ergeben immer eine Basis von IR³ .

Dazu kommt die Frage, ob man in beiden Fällen b1 (0: 0: 2) und b2 (2: 2: 1) eine Linearkombination mit a1, a2 und a3 möglich ist. Falls ja schildern Sie bitte das Ergegnis. 

Mach den Ansatz

b1 = x* a1 + y*a2 + z*a3 und berechne x, y, z.

Bei der Basis geht das garantiert, bei der anderen musst du schauen.

Answer 2

r·[1, 1, 2] + s·[2, 0, 2] = [3, 2, 5] gilt für r = 2 ∧ s = 1/2

Damit sind diese 3 Vektoren keine Basis des R^3.

r·[1, 1, 2] + s·[2, 0, 2] = [3, 2, 3] hier gibt es keine Lösung

Damit sind die letzten 3 Vektoren eine Basis des R^3.

r·[1, 1, 2] + s·[2, 0, 2] = [0, 0, 2] hier gibt es keine Lösung.

r·[1, 1, 2] + s·[2, 0, 2] = [2, 2, 1] hier gibt es auch keine Lösung.

r·[1, 1, 2] + s·[2, 0, 2] + t·[3, 2, 3] = [0, 0, 2] --> r = 2 ∧ s = 1/2 ∧ t = -1

r·[1, 1, 2] + s·[2, 0, 2] + t·[3, 2, 3] = [2, 2, 1] --> r = -1 ∧ s = - 3/4 ∧ t = 3/2

Comments

danke. aber mir ist aufgefallen dass ich bei der 1. Angabe einen fehler gemacht habe. und zwar bei a3 ( 1: 2: 4) und bei der zweitens heißt es a3 ( 3: 2: 5)  
deswegen habe ich bei der ersten angabe eine linear unabhängige ( entspricht der Basis von IR^3 und bei der zweiten Angabe ist es der Vektortripel linear abhängig)

sorry. das ist mein fehler gewesen. aber danke für die antwort und rechnung.