Folge auf Konvergenz überprüfen: a_{n} = (ln^{2} (2n)^{2n}) / (n!)

Question

Habe diese Folge auf Konvergenz zu überprüfen:

$${ a }_{ n }=\frac { ln^{ 2 }({ (2n) }^{ 2n }) }{ n! }$$

Answer 1

$$ 0<{ a }_{ n }=\frac { ln^{ 2 }({ (2n) }^{ 2n }) }{ n! } \\=\frac { (2n)^2ln^{ 2 }{ (2n) }}{ n! } \\<\frac { (2n)^2ln^{ 2 }{ (n) }}{ n! }\\ <\frac { (2n)^2n^2}{ n! } \\=\frac { 4n^4}{ n! }\to 0 $$

Comments

Danke für die Lösung. Verstehe aber mehrere Sachen nicht.

Warum steht in zeile eins  0 <... ?

Und warum wird dann nach oben abgeschätzt?

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Warum steht in zeile eins  0 <... ?

ln^2 (....) bedeutet, dass die Klammer quadriert wird. Ausserdem ist der Inhalt der Klammer sowieso schnell grösser als 1, wenn n wächst. D.h. Zähler > 0

n! ist der Nenner. Es gilt Nenner >0

Und warum wird dann nach oben abgeschätzt? 

Wie meinst du das? Es ist nun gezeigt, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

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Hab ich denk ich verstanden.

Aber warum ist die 3. zeile größer als die 2. ?

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TR hat schon richtig begründet, dass der Term größer als Null ist.

Sorry, Zeile 3 ist falsch wie es da steht.

Man kann diese Zeile weglassen und wie folgt weiterrechnen:

$$  \frac { (2n)^2ln^{ 2 }{ (2n) }}{ n! } \\ <\frac { (2n)^2(2n)^2}{ n! } \\=\frac { 16n^4}{ n! }\to 0$$

Die Folge konvergiert also nach dem Einschließungskriterium gegen 0.

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Der Übergang von Zeile 2 zu Z3 ist nicht richtig.

Aber ln²(2n) <  n² für große n. Deshalb kann man direkt von Z2 zu Z4 gehen