Eigenwerte Eigenvektoren

Question

 

gegeben ist eine lineare Abbildung f: V->V, mit f(A)=A+A^T und A sei eine nxn Matrix. Wir bilden also vom K^nxn in den K^nxn ab. 

gesucht sind die Eigenvektoren und Eigenwerte der Abbildung, außerdem wird nach der Diagonalisierbarkeit gefragt. 

Zu Eigenwerten und Eigenvektoren: 

Für diese gilt f(A)=k*A , mit A ungleich 0, demnach gilt :

 A+A^T=k*A, 

nach meiner Überlegung gilt dies wenn A eine symmetrische Matrix ist: Somit wäre k=2 der Eigenwert und A=sym. Matrix meine Eigenvektoren

oder aber A ist eine schiefsym. Matrix dann würde k=0 gelten und alle schiefsym. Matrizen wären die Eigenvektoren. 

Bei der Diagonalisierbarkeit habe ich meine Schwierigkeiten, f ist ja diagonalisierbar wenn eine Basis existiert, sodass die Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen eine Diagonalmatrix ist. 

Außerdem dürfte gelten, dass dimV=dim(U1)+dim(U2) , mit U1 ist der Unterraum der sym Matrizen und U2 der Unterraum der schiefsym. Somit könnte ich doch eine Basis von K^nxn wählen die aus Eigenvektoren besteht und daraus folgt, dass T diagonalisierbar ist. 

das dürfte eigentlich so stimmen oder bring ich etwas durcheinander?

grüße und vielen Dank

Answer 1

Außerdem dürfte gelten, dass dimV=dim(U1)+dim(U2) ,

Da hätte ich Bedenken, ist doch jeweils die Dimension(n² +1 ) / 2 . 

 Also wäre sogar    dimV  <  dim(U1)+dim(U2) .

Das ist ja auch klar, weil die Diagonalmatrizen ja symm. und schiefsymm. sind.

Aber eine Basis aus Eigenvektoren könnte man ja trotzdem bestimmen,