Wie kann man beweisen, dass (x ^ 2 - x ^ 4 - 1) für alle x Element der rellen Zahlen kleiner als Null bleibt?

Question

Hallo !

Ich weiß, dass das so ist, weil ich es mir in einem Funktionsplotter angesehen habe.

Ich weiß außerdem, dass man die Extremwertpunkte über die Nullstellen der 1-te Ableitung ausrechnen kann und dann ausrechnen kann, welchen Betragswert (x ^ 2 - x ^ 4 - 1) an den Extremwertstellen hätte, und dann ausrechnen, ob das unter Null bleibt oder nicht.

Was ich nicht weiß, ist, ob das als mathematischer Beweis ausreicht.

Ich weiß fast nie, was mathematisch als Beweis denn nun ausreicht und was nicht.

Wie kann man das so beweisen, dass selbst der pingeligste Mathematiker überzeugt ist ?

Answer 1

y = x^2 - x^4 - 1

y-Achsenabschnitt liegt bei -1 also unter der x-Achse

x^2 - x^4 - 1 = 0

z - z^2 - 1 = 0

- z^2 + z - 1 = 0

z^2 - z + 1 = 0

Diskriminante b^2 - 4*a*c = (-1)^2 - 4*(1)*(1) = 1 - 4 < 0

Weil die Diskriminante kleiner Null ist gibt es keine Lösungen und damit keine Nullstellen der Funktion. Da Polynome stetig sind bleibt der Graph also immer unter der x-Achse.

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Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Answer 2

1. Schritt: Zeige, dass  f(x) =  x ^ 2 - x ^ 4 - 1 keine Nullstellen hat. 

Methode: Biquadratische Gleichung zu lösen versuchen und irgendwann Wurzel aus neg. Zahl nicht ziehen können. Stichwort: Diskriminante. 

2. Schritt: f(x) ist ein Polynom und daher stetig. 

f(0) = -1 

Folglich kann der Graph von f die x-Achse nicht überschreiten. 

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