Kritische Punkte bestimmen und klassifizieren

Question

F(x)= -2/3x^3+2xy^2+y

Ich habe die Ableitungen gebildet und habe als Nullstellen x1=0,63y/x2=-0,63y raus und y=x-0,5. Wie muss ich weiter verfahren ? (Wäre lieb, wenn jemand meine Erfebnisse auch überprüfen würde^^)

Answer 1

 

f(x)= -2/3·x³ + 2xy² + y

Du musst die 1. partiellen Ableitungen bilden  und  dann = 0  setzen (jeweils die andere Variable als konstant ansehen). Die Lösungspaare (x,y)  des Gleichungssystem sind die kritischen Punkte:

f_x (x,y)  =  2y² - 2x²  =  0

f_y (x,y)  =  4·x·y + 1  =  0     →   y = -1 / (4x)

Einsetzen in G1:   2·1/(16·x²) - 2·x² = 0    ⇔  2 - 32x⁴ = 0  ⇔ x⁴ = 16

                                 ⇔  x = ± 1/2     →   y = ± 1/2  

Kritische Punkte:  ( -1/2 | 1/2 )   und  ( 1/2 | -1/2 )  

die 2. partiellen Ableitungen:

f_xx (x.y) = - 4x  ;  f_xy (x,y) = 4y   und  f_yy (x,y) = 4x

Klassifizieren:

für jeden der 2 erhaltenen kritischen Punkte prüfst du durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

Gruß Wolfgang