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Hallo. Ich verzweifel gerade an dieser Aufgabe.

Weiß jemand, wie genau man die Ableitung von f(x) = ln (√(x/(x-3))) berechnet?

Das Ergebnis ist f'(x) = -3/(2x(x-3)) aber ich verstehe nicht, wie man da hinkommt.

Danke für Antworten :D

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Wir benutzen die Verkettungsregel:

$$f'(x)=\left( \ln \left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)'$$

Um die Ableitung $$\left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)'$$ zu berechnen, benutzen wir wieder die Verkettungsregel: $$\left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \left(\frac{x}{x-3}\right)' \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{(x)'\cdot (x-3)-x\cdot (x-3)'}{(x-3)^2} \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{x-3-x}{(x-3)^2} \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{-3}{(x-3)^2}$$

Wir bekommen also folgendes: $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{-3}{(x-3)^2} \\ =-\frac{3}{2}\frac{1}{\frac{x}{x-3}}\cdot \frac{1}{(x-3)^2} \\ =-\frac{3}{2}\frac{x-3}{x}\cdot \frac{1}{(x-3)^2} \\ =-\frac{3}{2}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x-3} \\ =-\frac{3}{2}\frac{1}{x(x-3)}$$

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