Abzählbare oder überabzählbare Menge

Question

Ich habe eine Frage zur Abzählbarkeit oder überabzählbarkeit von Mengen.
In der Vorlesung hatten wir folgende Aufgabe:
Die Menge M ={x=∑x_j2^-j  , x_j ∈{0,1}} ist abzählbar. Kurze Begründung.
M=[0,1] da x=∑x_j2^-j die Dualdarstellung ist. Die Aussage ist also falsch da [ 0,1 ] überabzählbar ist.

Kann mir jemand hier vielleicht sagen wo ich noch weitere Aufgaben in einem solchen Stil mit Lösungen finde, die ich üben kann? Oder erklären wie man an solche Aufgaben generell herangeht?
Schon mal vielen Dank

Answer 1

Wenn man davon ausgeht, dass der Index j den natürlichen Zahlen entstammt, dann ist die Menge abzählbar.

Tipp: Lies mal einen Artikel mit der Überschrift "Hilberts Hotel" durch.

Aufgabe zur Übung: Ist die Menge der Brüche unseres Dezimalsystems abzählbar (Antwort begründen)?

Answer 2

Überabzählbarkeit: Zeige dass die Menge Obermenge einer überabzählbaren Menge ist.

Abzählbarkeit: Zeige dass die Menge Teilmenge einer abzählbaren Menge ist.

> Die Menge M ={x=∑x_j2^-j  , x_j ∈{0,1}} ist abzählbar

Die Summationsgrenzen fehlen. Wird bis ∞ summiert, dann has du recht, die Menge ist überabzählbar. Wird bis zu einem n summiert, dann ist die Menge abzählbar; auch dann wenn das n beliebig groß werden kann.

Comments

Für die Abzählbarkeit von M reicht es, wenn es eine injektive Abbildung M→ℕ gibt.

---

Die Summationsgrenzen fehlen.

Dann wird es wohl eine Potenzreihe sein...

---

Das widerspricht der Aussage "Die Menge M ={x=∑x_j2^-j  , x_j ∈{0,1}} ist abzählbar"

---

Ja richtig. Eben diese Aussage soll ja gerade auf ihren Wahrheitsgehalt überprüft werden. So habe ich jedenfalls die ursprüngliche Aufgabe aus der Vorlesung aufgefasst, die in der Frage ein wenig verkürzt wiedergegeben wurde.

---

> Eben diese Aussage soll ja gerade auf ihren Wahrheitsgehalt überprüft werden.

Dann würde ich anstatt des Wortes verkürtzt das Wort falsch vorziehen.