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Hallo liebe Mathematiker,

Ich habe folgende Aufgabe bekommen und weiß nicht so genau wie ich sie lösen soll:

a) Zeigen Sie dass jede unendliche Menge eine abzählbar unendliche Teilmenge enthält.

b) Beweisen Sie, dass die Menge ℕ×ℕ aller Paare von natürlichen Zahlen abzählbar ist.

c)Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung zwischen ihnen existiert.

Zeigen Sie: Ist M eine beliebige Menge und N⊂M eine abzählbare Teilmenge, so dass das Komplement M\N unendlich ist, dann sind M und M\N gleichmächtig.

Schlussfolgern Sie, dass ℝ\ℚ und ℝ gleichmächtig sind.

 

Aufgabe a) habe ich folgendermaßen angefangen:

Ich habe A als unendliche Menge gewählt und habe A dann auf A≠∅ geschlussfolgert.

Und da A nicht leer ist, muss es mindestens ein beliebig wählbares Element a, a∈A geben.

Dann habe ich angenommen, dass wir bereits n Elemente in A gefunden haben, dann gilt: A'⊂A,

wobei A'={a1, ...., an}

Somit gilt A \{a1 , ...., an}≠∅, sodass es also stets noch ein weiteres Element a(n+1) in A gibt.

Ab hier weiß ich nicht so recht, wie ich weiter machen soll.

Was fehlt mir jetzt noch genau um schlussfolgern zu können, dass A' abzählbar ist?

 

b) ist mir klar, ich weiß nur nicht wie ich es aufschreiben soll und c) habe ich dann ganz aufgegeben.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

 

LG

 

 

von

1 Antwort

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Ich kann hier nur zu b) etwas sagen.

b) " nur nicht wie ich es aufschreiben soll"

Man kann alle Elemente von NxN nacheinander aufschreiben und dann mit 1,2,3,… nummerieren.

Da diese Zuordnung eindeutig ist, haben NxN und N "gleich viele" Elemente. [gemäss c) 'gleich mächtig']

Die Aufzählung (folgt den Diagonalen im NxN-Gitter): (Ich nehme hier an 0 gehört bei euch nicht zu N sondern zu N0)

(1,1), (1,2), (2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5)…

Jetzt Nummerieren. fertig.

 

 

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