Question

Zeigen Sie, dass (1, 0, 1)^T ,(0, 1, 0)^T ,(3, 1, 2)^T eine Basis des ℝ³ ist. 

Meine Lösung: 

Ich habe überprüft, ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind. D. h ich habe die 3 Vektoren als lineares Gleichungssystem dargestellt und gleich null gesetzt. Als Lösung davon bekomme ich, dass x1=0, x2=0, x3=0, d.h die 3 Vektoren sind linear unabhängig.
Muss ich noch überprüfen, ob die 3 Vektoren ein Erzeugendensystem bilden oder ist das genug? Wenn ja, wie?

Answer 1

Es ist ja bekannt, dass din(IR³) = 3 ist.  Also bilden drei lin. unabh. Vektoren

immer eine Basis von IR³  .

Comments

Wenn du das mit dem Erz.system prüfen möchtest,

machst du einfach den Ansatz

Sei v = (a;b;c)^T ein Element von IR³ .

Dann ist zu zeigen: Es gibt  x,y, z aus IR mit

x*(1, 0, 1)^T +y*(0, 1, 0)^T +z*(3, 1, 2)^T = v.

Das ist ein Gl. System mit den Parameter a,b,c und du

zeigst, dass es eine Lösung ( x,y,z) gibt.