0 Daumen
291 Aufrufe

Martins Präferenzen kann man durch die Nutzenfunktion U(x1, x2)=x11/2x22 abbilden, wobei der Preis von x1 bei 20€ liegt und der Preis von x2 bei 10 Euro liegt und das Einkommen bei 100 Euro. Welche Mengen konsumiert er von Gut 1 und Gut 2 im Optimum?

Antwort ist x1=1 und x2=8, aber ich komme nicht auf den Rechenweg :(

von

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo ii,

ich schreibe x für x1 , y für x2

U(x,y) = x1/2 · y2

 soll unter der Nebenbedingung 20x + 10y = 100  ( ⇔ y = 10 - 2x) maximal werden.

DÖk = { (x,y) ∈ ℝ2 | x,y ≥ 0 und 20x + 10y = 100 }

y einsetzen:

U2(x) = √x * (10-2x)2      x ∈ [ 0 ,5 ]

U2'(x) =  1/(2*√x) * (10-2x)2 + √x * 2 *  (10-2x) *(-2)      x ≠ 0

           =  (50 - 20x + 2x2) / √x  +  √x * (8x - 40)

           =  (50 - 20x + 2x2 + 8x2 - 40x) / √x  

           =  (10x2 - 60x + 50) / √x

           = 10 * (x2 - 6x + 5) / √x

U2'(x) = 10·(x - 1)·(x - 5) / √x = 0      [ oder Nullstellen von x2 - 6x + 5 mit pq-Formel ]

x1 = 1  mit Vorzeichenwechsel von + → -  →  lokale Maximalstelle

x2 = 5  mit Vorzeichenwechsel von - → +  →  lokale Minimalstelle

Randwerte: U2((0)) = 0  [ und U2(5) = 0 ]   →  x1  ist absolute Maximalstelle

Nutzenoptimum für (x,y) = (1, 8)    ( ∈ DÖk )  

optimaler Nutzen  U( (1,8) ) = 64

------------------

Solltet ihr das mit Lagrange machen müssen, musst du dich wieder melden.

Gruß Wolfgang 

von 85 k 🚀

Kannst du den Rechenweg mit Lagrange auch hier posten? Obwohl es immer das selbe Schema ist, wird es wohl einige Zeit dauern bis ich endlich einmal eine Lösung richtig rausbekomme. Wie kann so etwas so kompliziert sein?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community