Du musst nur zeigen, dass die Verknüpfung bilinear ist; denn dass der Endomorphismenring ein
IR bzw. C - Vektorraum ist, wurde sicher schon geklärt
und die Abgeschlossenheit von End(V) unter o ist wohl auch klar.
Also musst du zeigen: Für alle f, g, h aus End(V) und alle a aus K gilt:
(i) (f+g)oh = foh + goh und
( ii) f o ( g+h) = fog + foh und
( iii) a*(fog) = (a*f)og = f o (a*g)
Dazu musst du auf die entsprechenden Definitionen zurückgehen
Und Gleichheit von Abbildungen zeigt man ja, indem man prüft,
dass für jedes Argument die Bilder gleich sind. (Def.- und
Zielbereich sind hier ja eh gleich )
Sei also v ∈ V. Dann gilt
(i) ((f+g)oh )(v) = nach Def. von o
(f+g)( h(v)) = nach Def. von + in End(V)
f(h(v)) + g(h(v)) = nach Def. von o
(foh)(v) + (goh)(v) = nach Def von + in End(V)((fog)+(goh))(v) Damit ist (i) gezeigt.
(ii) (fo(g+h))(v) = nach Def. von o
f( (g+h)(v) ) = nach Def. von + in End(V)
f( g(v) + h(v) ) = wegen Linearität von f
f(g(v)) + f(h(v)) = nach Def. von o
(fog)(v) + (foh)(v) = nach Def von + in End(V)
((fog)+(foh))(v) Damit ist (ii) gezeigt.etc.
