In welchen reellen Intervallen sind die Funktionen differenzierbar? Ableitungen? Bsp. (x2 + 4x)3/2,

Question

 Auf welchen reellen Intervallen sind die folgenden Funktionen f definiert, wo sind sie differenzierbar, und wie lautet jeweils ihre Ableitung, falls die Funktionswerte f(x) gleich

 (x² + 4x)^3/2,

 arcsin √((1−x )/(1 + x)) ,

x/(√(1 + x²)) arcsinx + 1/2 ln(1−x²).

sind

Answer 1

(x² + 4x)^3/2,
√ (x² + 4x)³
Der Radikand muß ≥ 0 sein
x² + 4x ≥ 0
x ≤ -4
und
x ≥ 0

Comments

Es muss "oder" statt "und" heißen.

---

x/(√(1 + x²)) arcsinx + 1/2 ln(1−x²).

x/(√(1 + x²))
1 + x² ist stets positiv
x/(√(1 + x²))  : keine Einschränkungen

arcsin ( x )  -1 ≤ x ≤ 1

1/2 ln(1−x²).
1 - x² > 0
x² < 1
-1 < x - 1

Insgesamt
-1 < x - 1

---

arcsin √((1−x )/(1 + x)) ,
D \  x = -1

Werte für den arcsin ( von -1 bis 1 )

√((1−x )/(1 + x))
Der Radikand ≥ 0
( 1−x ) / ( 1 + x )

1. Fall  ( + / + )
(1−x ) > 0
und
(1 + x) > 0
x < 1 und  x > -1
Insgesamt
-1 < x < 1
dafür ergeben sich positive Werte

und für den arcsin muß der Wert von
√((1−x )/(1 + x)) kleiner 1 sein

√ ((1−x )/(1 + x) ) < 1 | quadrieren
( 1 − x ) / ( 1 + x ) < 1²

1.Fall
1 + x > 0  => x < 1
1 - x < 1 * ( 1 + x )
1 - x < 1  + x
2x > 0
x > 0
Insgesamt
0 < x < 1

2.Fall
1 + x < 0  => x > 1
1 - x < 1 * - ( 1 + x )
1 - x < -1  - x
stets falsch

1. Fall  ( + / + )
0 < x < 1

2. Fall
(1−x ) < 0
und
(1 + x) < 0
x  > 1 und  x < -1
Keine Schnittmenge

Insgesamt
0 < x < 1

---

wofür steht eigentlich das (+/+) bei den fällen

---

Der Ausdruck in der Wurzel muß ≥ 0 sein
( 1−x ) / ( 1 + x )  ≥ 0

Dies ist der Fall
- wenn Zähler und Nenner positiv sind
1. Fall  ( + durch + = + )

oder
- Zähler und Nenner negativ sind

2. Fall  ( - durch - = + )