Binomialreihe r(x) ableiten und Differentialgleichung zeigen. Dann Summenformel zeigen.

Question

Dass die Reihe = (1+x)^alpha ist, habe ich bereits bewiesen, ich habe allerdings keinen Bezug genommen zu dem Teil aus dem Hinweis. Ich habe ewig probiert (1+x)r'(x)=alpha r(x) mit der Reihe als r(x) umzustellen, komme aber nie auf eine wahre aussage, mache ich es mithilfe von (1+x)^ alpha ist es einfach und stimmt, kann mir vielleicht jemand helfen? Ich bedanke mich schon einmal :)

Answer 1

Hi, man kann nachrechnen das gilt
$$ (1) \quad (n+1) \binom{\alpha}{n+1} = \binom{\alpha}{n}(\alpha - n) $$
$$ (2) \quad r'(x) = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n+1} (n+1) x^n $$
Daraus folgt
$$ (3) \quad (1+x)r'(x) = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} (\alpha-n) x^n + \sum_{n=1}^\infty \binom{\alpha}{n} n x^n = \alpha r(x) $$

Weiter gilt
$$ (4) \quad \left[ \frac{r(x)}{(1+x)^\alpha} \right]' = \frac{r'(x) (1+x)^\alpha - r(x) \alpha (1+x)^{\alpha - 1}}{(1+x)^{2 \alpha}} = \\ \frac{(1+x)^{\alpha -1} \left[ r'(x)(1+x) - \alpha r(x) \right]}{(1+x)^{2 \alpha}} = 0 $$
Daraus folgt
$$ (5) \quad r(x) = C (1+x)^\alpha  $$ also mit \( x = 0 \) folgt \( C = 1 \) und damit ist alles bewiesen.