Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen für f(x)=x³-4x²+4x

Question

Bestimmen sie für den Graphen von f die Schnittpunkte mit den Achsen:

f(x)=x³-4x²+4x

Comments

Du kannst deine Funktion auch mit dem Funktionsplotter zeichnen lassen und erhältst:

~plot~ x^3-4x^2+4x~plot~

Dies ist eine Funktion 3. Grades mit einfacher Nullstelle bei x=0 und doppelter Nullstelle bei x=2.

Answer 1

Also für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzt du einfach für x=0 ein.

Also:

\( f(x)=x^{3}-4 x^{2}+4 x \)
\( f(0)=0 \)
\( S_{y}(0 \mid 0) \)

Damit hast du wie man sieht gleich die erste Nullstelle, nämlich x=0.

Die anderen Nullstellen kriegst du so:

\( f(x)=x^{3}-4 x^{2}+4 x \)
\( 0=x^{3}-4 x^{2}+4 x \)
\( 0=x\left(x^{2}-4 x+4\right) \)
\( 0=x(x-2)^{2} \)
\( 0=|x-2| \)
\( 2=x \)

Logischer Weise ist die y-Koordinate der Schnittpunkte mit der x-Achse immer gleich 0. D.h. die Schnittpunkte lauten dementsprechend:

\( S_{x, 1}(0 \mid 0) \quad S_{x, 2}(2 \mid 0) \)

Answer 2

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzt du einfach x=0 und erhältst f(0)=0

Damit hast du gleichzeitig einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Da die Funktion aber 3. Grades ist, fehlen noch 2 Nullstellen

f(x)=x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=x(x-2)^2

Also hast du noch eine doppelte Nullstelle bei x=2