Bestimmen Sie alle unteren Schranken für die Menge

Question

а) Bestimmen Sie alle unteren Schranken für die Menge:

$$ M:=\left\{ n-\frac { 1 }{ n+1 } |n\in ℕ,\quad n\ge 1 \right\} $$

b) Bestimmen Sie inf M.

c) Entscheiden Sie, ob sup M existiert?

Comments

Mein Lösungsvorschlag:

c) Ich denke, dass sup (M) nicht existiert, weil ich keine obere Schranke sehe.

Kann mir jemand bei a) und b) helfen?

Answer 1

Schreibe mal die Menge auf:

M = { 1-1/2 , 2 - 1/3 , 3 - 1/4, ....}

Die Elemente werden immer grösser. Das kleinste ist 1/2.

Nun sollte bei a) gelten

A = { x Element R | x ≤ 1/2 }

und bei b)

inf(M) = 1/2.

Kommt das mit euren Definitionen hin?

Comments

Ich habe mich das auch so, wie Sie geschrieben haben, vorgestellt. Danke für Ihre Antwort.


Meine Definitionen:

Die Menge M heißt nach unten beschränkt, wenn es ein d ∈ R gibt mit x ≥ d für

alle x ∈ M. Jedes d mit dieser Eigenschaft heißt untere Schranke von M.

Wenn es eine größte untere Schranke von M gibt, dann bezeichnet man sie als

Infimum von M, in Zeichen inf M.

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Ok. Das, was ich da habe, passt zu eurer Definition.