Wie wende ich die h-Methode richtig an? f(x) = x^2 - 3x^3 , x0 = 1

Question

Ich bräuchte unbedingt mal jemanden hier, der mir die h-Methode Schritt für Schritt erklärt.

Beispielaufgabe:

f(x) = x² - 3x³ , x₀ = 1

Danke, für eure Hilfe!

Answer 1

Hi,

Es ist

lim_h->0 (f(x₀+h)-f(x₀)) / h = lim ((1+h)^2-3(1+h)^3 - (1-3)) / h

= lim ((1+2h+h^2 - (3h^3+9h^2+9h+3) + 2 ) / h = lim (2h+h^2-h^3-9h^2-9h) / h

= lim (2+h-9h-9) = -7

 

eigentlich ist es nur die Formel anzuwenden. Wie das geht ist mit meinem Beispiel klar geworden?

Dann ist (zumindest hier) angesagt einfach drauf loszurechnen. Ziel ist es, das h im Nenner zu entfernen, was hier sehr gut klappt. Das orangene und das rote sind dabei einfach die ausmultiplizierten Formen.

In der letzten Zeile habe ich dann letztlich den Grenzwert bestimmt. Da h gegen 0 geht, entfallen die mittleren Summanden. Es verbleibt 2-9=-7.

 

Grüße

Answer 2

 

 

die h-Methode dient dazu, die Steigung einer Funktion f(x) in einem Punkt x₀ herauszufinden. 

Wir bilden ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten x₀ und x₀ + h.

Da ja die "y-Differenz" durch die "x-Differenz" dividiert wird, setzen wir diese beiden Punkte in f(x) ein und erhalten in Deinem Beispiel: 

[ f(x₀ + h) - f(x₀) ] / [ (x₀ + h - x₀) ]

Die Idee ist jetzt, dass man dieses h immer kleiner werden lässt und so schließlich ein unendlich kleines Steigungsdreieck erhält, woraus man den Anstieg im Punkt x₀ ablesen kann. 

[ (x₀ + h)² - 3 * (x₀ + h)³ - x₀² + 3x₀³ ] / h

(x₀² + 2*x₀h + h² - 3 * (x₀² + 2*x₀h + h²) * (x₀ + h) - x₀² + 3x₀³) / h

Jetzt setze ich mal x₀ = 1 ein, weil ich sonst den Überblick verliere :-)

(1 + 2h + h² - 3 * (1 + 2h + h²) * (1 + h) - 1 + 3) / h

(1 + 2h + h² - 3 * (1 + h + 2h + 2h² + h² + h³) - 1 + 3) / h

(1 + 2h + h² - 3 - 3h - 6h - 6h² - 3h² - 3h³ - 1 + 3) / h

(-3h³ - 8h² - 7h)  / h

Jetzt kann man durch h kürzen:

(-3h² - 8h -7) / 1

Wenn jetzt h unendlich klein wird, geht der Bruch gegen -7 / 1, also gegen -7.

Der Anstieg von f(x) im Punkt x₀ = 1 ist -7. 

 

Probe durch die altbekannte Formel: 

f(x) = x² - 3x³

f'(x) = 2x - 9x²

f'(1) = 2*1 - 9*1² = 2 - 9 = -7

Passt :-)

 

Besten Gruß