Taylor Entwicklung von f(x) = sin(x) um Punkt x = π berechnen

Question

Es soll die Taylor Entwicklung von f(x) = sin(x) um den Entwicklungs-Punkt x = pi berechnet werden.

Ich habe angefangen mit:

 $$ f\left( \pi  \right) +\frac { f^{ \prime  }\left( \pi  \right)  }{ 1! } { (x-\pi ) }^{ 1 }+\frac { f^{ \prime \prime  }\left( \pi  \right)  }{ 2! } { (x-\pi ) }^{ 2 }+\frac { f^{ \prime \prime \prime  }\left( \pi  \right)  }{ 3! } { (x-\pi ) }^{ 3 } $$

$$ sin\left( \pi  \right) +\frac { cos\left( \pi  \right)  }{ 1! } { (x-\pi ) }^{ 1 }+\frac { -sin\left( \pi  \right)  }{ 2! } { (x-\pi ) }^{ 2 }+\frac { -cos\left( \pi  \right)  }{ 3! } { (x-\pi ) }^{ 3 } $$

$$ 0+(-1){ (x-\pi ) }^{ 1 }+0+\frac { 1 }{ 3! } { (x-\pi ) }^{ 3 } $$

Ich habe mehrere Fragen: 

- Ist der Ansatz richtig?

- Bis zu welcher Potenz sollte man das berechnen, ich habe es bis 3 gemacht, ist das richtig?

- Meint Taylor Entwicklung -> Taylor Reihe?

- Wie sieht jetzt die Lösung der Aufgabe aus?

Danke für kommende Antworten!

Answer 1

"Bis zu welcher Potenz sollte man das berechnen,"

Ich würde so lange weitermachen, bis ich sicher wäre, welche Fakultäten in Zukunft unter dem Bruchstrich noch auftauchen und wie die Vorzeichenabfolge weitergeht. 

Comments

Ok, dann nehme ich an, dass 3 in diesem Fall nicht ausreichend ist, oder?

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Zumindest etwas gewagt ist es schon, wenn du jetzt bereits verallgemeinerst ;) 

Zur Erinnerung: Ungerade Zahlen k = 2n+1 

Anm: Ich habe nicht nachgerechnet. Sieht aber schon ganz gut aus:

 ~plot~ -1*(x-pi ) + 1 / 6* (x-pi )^3 ; sin(x) ~plot~ 

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Ok, dann würde ich das jetzt bis n= 5 einfach nochmal berechnen.

Meint Taylor Entwicklung = Taylor Reihe?

Und wie formuliert man dann die Lösung?

Berechnet man einfach beispielsweise nach n = 5 und klatscht das als Lösung hin, oder muss das noch irgendwie sauber formuliert werden?

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Da weiss ich nicht, wie das bei euch üblich ist. 

Ich würde etwas mit einem Summenzeichen ( (-1)^{etwas} / (2n+1)!  (x-π)^{2n+1} ) angeben.

Und dann dazuschreiben (zwei, drei Satze) warum ich denke, dass das so allgemein passt (z.B. mit allgemein bekannter Potenzreihe von sin (x) = 0 vergleichen und die spezielle Gestalt der Sinuskurve ausnützen). 

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Ok, das hilft mir weiter.

Kannst du mir vielleicht erklären, wie du so schnell auf die Summenformel gekommen bist, gibt es dort ein einfaches Verfahren mit dem man eine Reihe in eine Summe bringen kann. Weil so muss man schon wirklich gut hinsehen!

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Ich habe mehr "geraten" als gerechnet. Du musst schon erst mal noch etwas weiterrechnen und dann feststellen, dass unter dem Bruch immer Fakultäten von ungeraden Zahlen stehen. 

Danach weiterüberlegen und mit Bekanntem vergleichen. 

EDIT: "etwas" in meiner Formel oben sollte vermutlich  n+1 sein. 

Answer 2

Man kann auch einfach $$\sin x=-\sin(x-\pi)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}(x-\pi)^{2n+1}$$ hinschreiben.

Comments

Eine \(2\) zu viel?

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Hi, kannst du vielleicht näher erklären, wie sich die Summe ergibt.

Scheint zwar zu passen, nur wie kann man die Reihe "einfach" in eine Summe bringen?

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Also ein Trick, den man drauf haben sollte, besteht darin, bereits bekannte Reihen (hier die Sinusreihe) zu verwenden. Wie nn bemerkt hat, sollte man sie aber auch richtig hinschreiben.

Ansonsten verstehe ich Deine Frage 'wie kann man die Reihe "einfach" in eine Summe bringen?' ueberhaupt nicht.