Exponentialfunktion bestimmen: Eine Bakterienkultur hat eine Verdopplungszeit von 3h.

Question

Eine Bakterienkultur hat eine Verdopplungszeit von 3h. Zu Beginn der Beobachtung sind 30 Bakterien vorhanden.

a) Bestimme die Exponentialfunktion, die das Bakterienwachstum mit diesem Anfangswert beschreibt.

b) Wie viel Prozent beträgt die stündliche Zunahme.

 .

Answer 1

1. Funktionsgleichung bestimmen

f(t) = a*b^t

f(0) = 30 = a*b^0 = a

f(3) = 60 = 30*b^3

2 = b^3       |dritte Wurzel

2^{1/3} = b = 1.25992

f(t) = 30 * 2^{t/3} oder gerundet:

f(t) = 30*1.25992^t

2. Stündliche Zunahme in Prozent, kann man an der Basis der Exponentialfunktion ablesen.

25.99%

Trick zu diesem Schritt z.B. im Video bei https://www.matheretter.de/wiki/rechentricks

Answer 2

Hi, 

 

Exponentialfunktion allgemein:

f(x) = a^x

Gegeben: 

f(3) = a³ = 2

a = ³√2

f(x) = 30 * (³√2)^x

 

Nun habe ich ein paar Funktionswerte ausgerechnet: 

f(0) = 30

f(1) = 30 * ³√2 ≈ 37,7976

f(2) = 30 * (³√2)² ≈ 47,6220

f(3) = 30 * (³√2)³ = 60

f(3) / f(2) = f(2) / f(1) = f(1) / f(0) ≈ 1,2599

Die Zunahme beträgt ca. 25,99% pro Stunde.

 

Besten Gruß

Answer 3

a) Allgemeiner Ansatz: B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{- λ t}  ( t in Stunden )

Laut Aufgabenstellung: B ( 0 ) = 30, t = 3 , B ( t = 3 ) = 60 

Eingesetzt in den allgemeinen Ansatz ergibt:

60 = 30 * e ^{- 3 λ} 

<=> 2 = e ^{- 3 λ}

<=> ln ( 2 ) = - 3 λ

<=> λ = ln ( 2 ) / - 3 = - 0,2310490 (gerundet)

Somit lautet die gesuchte Exponentialfunktion:

B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{0,2310490 * t}

 

b) Stündliche Zunahme = [ B ( 1 ) - B ( 0 ) ] / B ( 0 )

= B ( 1 ) / B ( 0 ) - 1 =  [ 30 * e ^{0,231049 * 1} / 30 - 1 = e ^0,231049 - 1 = 0,26 = 26 % (gerundet) = 2 ^{( 1 / 3 )} - 1