Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes die Summe: Σ (4 j)(-1)^j·3^{j+1}

Question

Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes folgende Summe:

$$ \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } \left( \begin{array} { l } { 4 } \\ { j } \end{array} \right) ( - 1 ) ^ { j } 3 ^ { j + 1 } $$

Ich habe zwar Ansätze im Kopf, kann sie aber nicht erklären.

Answer 1

Du kannst erst mal 3 aus der Summe ausklammern. Dann weisst du offenbar, wie die binomische Formel geht

Nach binomischer Formel gilt:

$$ \left. \begin{array} { l } { ( 3 - 1 ) ^ { 4 } = } \\ { \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 0 } \end{array} \right) 3 ^ { 4 } ( - 1 ) ^ { 0 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 1 } \end{array} \right) 3 ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { 1 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 2 } \end{array} \right) 3 ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { 2 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) 3 ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { 3 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 4 } \end{array} \right) 3 ^ { 0 } ( - 1 ) ^ { 4 } = } \\ { \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 0 } \end{array} \right) 3 ^ { 4 } ( - 1 ) ^ { 4 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 1 } \end{array} \right) 3 ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { 3 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 2 } \end{array} \right) 3 ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { 2 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) 3 ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { 1 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 4 } \end{array} \right) 3 ^ { 0 } ( - 1 ) ^ { 0 } = 2 ^ { 4 } } \end{array} \right. $$

In der dritten Zeile steht, was nach der Ausklammerung übrigbleibt.

Die 4. Zeile ist dasselbe wie dei erste.

Die gesuchte Summe ist nun 3 · 2^4.

Comments

Wie kommst du auf  (3-1)^4, klar das ist ausgeklammert, aber der exponent von 3 ist doch j+1

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Die binomische Formel gilt ja für (a+b)^n.

um die anwenden zu können, setzt man hier

a=3 und b= -1.

Genau! Dieses +1 stört. Aber es ist ja derselbe Faktor 3¹ in jedem Summanden. Deshalb kann man ihn von Anfang an ausklammern. ok?

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ok das ist jetzt klar, aber die zweite zeile könnte man sich doch sparen?

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Ja. Du kannst dir das Aussschreiben der Summen auch sparen.

Zuerst schreibst du 3 vor das Summenzeichen und lässt +1 weg.

Dann schreibst du beim Exponenten von (-1) statt j ,       ( 4-j) und

Zum Schluss 3*(3-1)^4 = 3*2^4