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Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Satzes folgende Summe:

$$ \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } \left( \begin{array} { l } { 4 } \\ { j } \end{array} \right) ( - 1 ) ^ { j } 3 ^ { j + 1 } $$

Ich habe zwar Ansätze im Kopf, kann sie aber nicht erklären.

von

1 Antwort

+1 Daumen

Du kannst erst mal 3 aus der Summe ausklammern. Dann weisst du offenbar, wie die binomische Formel geht

Nach binomischer Formel gilt:

$$ \left. \begin{array} { l } { ( 3 - 1 ) ^ { 4 } = } \\ { \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 0 } \end{array} \right) 3 ^ { 4 } ( - 1 ) ^ { 0 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 1 } \end{array} \right) 3 ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { 1 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 2 } \end{array} \right) 3 ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { 2 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) 3 ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { 3 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 4 } \end{array} \right) 3 ^ { 0 } ( - 1 ) ^ { 4 } = } \\ { \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 0 } \end{array} \right) 3 ^ { 4 } ( - 1 ) ^ { 4 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 1 } \end{array} \right) 3 ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { 3 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 2 } \end{array} \right) 3 ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { 2 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) 3 ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { 1 } + \left( \begin{array} { c } { 4 } \\ { 4 } \end{array} \right) 3 ^ { 0 } ( - 1 ) ^ { 0 } = 2 ^ { 4 } } \end{array} \right. $$

In der dritten Zeile steht, was nach der Ausklammerung übrigbleibt.

Die 4. Zeile ist dasselbe wie dei erste.

Die gesuchte Summe ist nun 3 · 2^4.

von 160 k 🚀
Wie kommst du auf  (3-1)^4, klar das ist ausgeklammert, aber der exponent von 3 ist doch j+1

Die binomische Formel gilt ja für (a+b)^n.

um die anwenden zu können, setzt man hier

a=3 und b= -1.

Genau! Dieses +1 stört. Aber es ist ja derselbe Faktor 31 in jedem Summanden. Deshalb kann man ihn von Anfang an ausklammern. ok?

ok das ist jetzt klar, aber die zweite zeile könnte man sich doch sparen?
Ja. Du kannst dir das Aussschreiben der Summen auch sparen.

Zuerst schreibst du 3 vor das Summenzeichen und lässt +1 weg.

Dann schreibst du beim Exponenten von (-1) statt j ,       ( 4-j) und

Zum Schluss 3*(3-1)^4 = 3*2^4

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