Beweisen, warum die folgenden Aussagen äquivalent sind. "Abbildung f ist bijektiv " und ...

Question

Zur Aufgabe : Gegeben sei  f : M → N eine Abbildung. Beweisen Sie bitte, warum die folgenden Aussagen äquivalent sind :

• f ist bijektiv

• Es gibt eine Abbildung g : N → M mit g ο f = id_M und f ο g = id_N

Aufgaben mit Beweisen fallen mir immer recht schwer. Ich weiß, dass ich beide Richtungen beweisen muss.

Ich weiß nur nicht genau, wie ich anfangen soll bzw. wie ich das alles aufschreiben muss.

Ich habe als Versuch mir zuerst die Aussage "f ist bijektiv" angeschaut. Das heißt ja nichts anderes, dass f Surjektiv und Injektiv ist also

f  : ∀ y ∈ ∃ x  ∈ M : f(x) = y Λ ∀ x1,x2 : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

Das soll jetzt äquivalent zur Aussage zwei sein

Ich habe mir hier zur Veranschaulichung Skizzen gezeichnet

Wenn ich das richtig verstanden habe dann ist ja :

g o f = id_M  also M → N  → M = M → M  und  f o g = id_N  also N → M → N  =  N→N.

Aus der Definition weiß ich, dass für jede beliebige Menge A die Identität f : A → A mit x ↦ x eine bijektive Abbildung ist.

Ist das hier schon der Beweis oder wie muss ich das machen ?

Answer 1

Zur 1. Richtung: f bijektiv ==> Es gibt eine Umkehrabb. f^-1 .

Nimm diese mal als g.

umgekehrt:

Wenn es so ein g gibt und du hast zwei Elemente

a,b aus M mit f(a) = f(b) , dann ist

g(f(a)) = g(f(b)) und nach Def. von g also

id_M(a) = id_M(b)

a = b und damit f Injektiv.

Sei nun y aus N, dann ist

y = id_N(y)

y = (  f o g  ) (y) = f ( g(y) )

Also gibt es ein x ( nämlich g(y) ) mit f(x) = y

und damit ist f surjektiv.