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Wählen Sie eine zweistellige Zahl. Schreiben Sie diese Zahl dreimal hintereinander auf. Es ist eine sechsstellige Zahl entstanden. Teilen Sie sie durch 7. Geht die Division Ohne Rest auf? Erläutern Sie.

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Hallo cb,

die zweistellige Zahl sei xy

        (x und y sind hier Ziffern (einstellig, x≠0 ) , also kein Produkt x*y).

Sechstellige Zahl   z  =  xyxyxy 

z = 101010 * x  + 10101 * y

z / 7 =  ( 101010 * x  + 10101 * y ) / 7 =  14430 * x + 1443 * y

=  1443 * (10x+y) , das  ist eine natürliche Zahl.

Die Division z / 7  geht also immer auf.

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀
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Nimm eine beliebige zweistellige Zahl \(x\) in einer beliebigen Basis \(b\). Eine Verschiebung um zwei Stellen entspricht einer Multiplikation mit \(b^2\). Zwei solche Zahlen aneinander reihen entspricht einmal um zwei Stellen verschieben und mit \(x\) addieren - also \(x \cdot b^2 +x\). Kommt die dritte Zahl hinzu, muss noch mal verschoben werden (\(\cdot b^2\)) und \(x\) addiert werden. Die fertige Zahl \(z\) ist demnach

$$z=(x \cdot b^2 +x)\cdot b^2 + x= x\cdot b^4 +x \cdot b^2 + x=(b^4+b^2+1)\cdot x$$

Dieser Ausdruck ist genau dann unabhängig von \(x\) durch 7 teilbar, wenn der Ausdruck \(b^4+b^2+1\) durch 7 teilbar ist. Das ist immer der Fall, wenn

$$ b^2 \equiv 2 \quad \text{oder} \quad  b^2 \equiv 4 \mod 7 $$

Ist \(b^2 \equiv 2 \mod 7 \), so ist \(b^4 \equiv 4 \mod 7 \). Ist \(b^2 \equiv 4 \mod 7 \), so ist \(b^4 \equiv 2 \mod 7 \), da \(4^2 \div 7 =2 \space \text{Rest} \space 2\). In jedem dieser Fälle ist

$$b^4+b^2+1 \equiv 2+4+1 \equiv 0 \mod 7 \quad \text{für} \space b^2 \in \{2, \space 4\}$$

und das gilt immer wenn \(b \equiv r \mod 7 \) mit \(r \in \{2, 3, 4, 5\}\) . also unter anderen für \(b=2\) (Dualsystem) und \(b=10\) (Dezimalsystem).

Gruß Werner

von 37 k

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