Für die abgebildete Ebene E eine Gleichung bestimmen

Question

Bestimmen Sie für die Ebene E in Fig.1 eine gleichung.

Answer 1

Hallo Luna,

ich schreibe Vektoren in Zeilenschreibweise [x, y, z] .

\(\overrightarrow{PQ}\)  =  [2, 1, 3] - [-1, 2, -3]  =  [3, -1, 6]   ist Normalenvektor der Ebene E 

weil  \(\vec{n}\) =  \(\overrightarrow{PQ}\)  senkrecht auf  der Ebene steht.

Punkt-Normalenform:    \(\vec{n}\) * (  \(\vec{x}\)  -  \(\vec{q}\)) = 0     mit Q ∈ E

E:   [3, -1, 6]  *  [x, y, z]   -   [3, -1, 6]  *  [2, 1, 3]  = 0   

E:   3·x - y + 6·z  -  23  =  0  

E:   3·x - y + 6·z  =  23    ist eine  Koordinatengleichung der Ebene

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ich mache eine Koordinatengleichung von Ebene E.

https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform#Koordinatenform_einer_Ebenengleichung

Normalenvektor

n = PQ = (3| -1| 6)

Koordinatengleichung: Ansatz:

E: 3x - 1y + 6z = d

Q(2|1|3) einsetzen

3*2 - 1*1 + 6*3 =d

6 - 1 + 18 = d

23 = d

Also Gleichung für die Ebene E: 3x - y + 6z = 23.

(Zahlen ohne Gewähr! Bitte selber nachrechnen)