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Ein Tunnel von 12 m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt von 8 m Durchmesser (Abb.). Durch den Einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen Wand aus Stahlblech (Wandstärke vernachlässigbar) soll ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal wird? (Hinweis: Pythagoras)

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Also ich habe bis jetzt:

HB: a2+b2=c2

NB: (1/2b)2+h2=42

Wie setzt man nun fort? Wie lautet die Zielfunktion?


Upps, ich habe es falsch hingeschrieben. Ich meine:
HB: A(h,b)=h*b
NB:a^2+b^2=c^2
(1/2b)^2+h^2=4^2

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(x/2)^2 + y^2 = 4^2 --> x = 2·√(16 - y^2)

A = x * y

A = 2·√(16 - y^2) * y 

A' = 4·(8 - y^2) / √(16 - y^2) = 0 --> y = 2·√2 = 2.828 m

x = 2·√(16 - 8) = 4·√2 = 5.657

Der Durchgang ist also halb so hoch wie breit.

von 391 k 🚀

A' ist die Zielfunktion? Ich verstehe nicht, wie du rechnerisch auf die Ergebnisse kommst, vor allem bei der 1. Ableitung.

A = 2·√(16 - y^2) * y

Produktregel

A = 2·(-2y/(2√(16 - y^2)) * y + √(16 - y^2) * 1)

Nun zusammenfassen

A = 2·(-y^2/√(16 - y^2) + √(16 - y^2))

A = 2·(-y^2/√(16 - y^2) + (16 - y^2)/√(16 - y^2))

A = 2·(-y^2 + (16 - y^2))/√(16 - y^2)

A = 2·(16 - 2y^2)/√(16 - y^2)

A = 4·(8 - y^2)/√(16 - y^2)

Geh so kleinschrittig vor wie du halt musst.

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