Wie leitet man A = 2·√(16 - y^2) * y ab und löst diese Ableitung nach y auf?

Question

A = 2·√(16 - y²) * y

A' = 4·(8 - y²) / √(16 - y²) = 0 --> y = 2·√2 = 2.828 m

So sieht das Ergebnis auf. Aber wie kommt man darauf? Kann mir jemand die Schritte ausführlich hinschreiben?

Answer 1

A = 2·√(16 - y²) * y  = 2y·√(16 - y²) 

Produktregel gibt

A ' =  2*·√(16 - y²)   + 2y * Ableitung von ·√(16 - y²) 

    =   2*·√(16 - y²)   + 2y *  1 / ( 2 *·√(16 - y²) )  *  (-2y)  (innere Ableitung ! )

  =   2*·√(16 - y²)   - 4y² / ( 2 *·√(16 - y²) )     kürzen

=   2*·√(16 - y²)   - 2y² / √(16 - y²)      beide auf gleichen Nenner

=  2*·(16 - y²)  / √(16 - y²)        - 2y² / √(16 - y²) 

= ( 32 - 4y² )  /  √(16 - y²) 

=  4·(8 - y²) / √(16 - y²)

Answer 2

Du wolltest ja auch noch wissen, wie man auf y = 2·√2 kommt. Hier wird nicht die Ableitung nach y aufgelöst, sondern die Ableitung wird gleich 0 gesetzt und dann wird nach y aufgelost:

0 =  4·(8 - y²) / √(16 - y²). Ein Bruch ist nur dann Null, wenn der Zahler Null ist und der Nenner nicht. Der Zähler ist ein Produkt aus zwei Faktoren, von denen nur einer Null sein kann: 0 =  8 - y². Auflösen nach y und teilweises Wurzelziehen ergibt y = ±2·√2.