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Ich soll ggT(a · b, n) | ggT(a, n) · ggT(b, n) beweisen.

bei jedem beliebigen Beispiel stimmt die Aussage .Wie verallgemeinere ich das nun?

bsp.: ggT(2*55,35) | ggT(2,35)* ggT (55,35) 

          5                     |     1         *   5             -> 5 teilt die 5 


Würde mich über einen Ansatz freuen :))





 

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Hallo Tinaaa,

\(\exists \alpha,\beta\in\mathbb{Z}:\alpha\cdot a+\beta\cdot n=ggT(a,n)\) und \(\exists\gamma,\delta\in\mathbb{Z}:\gamma\cdot b+\delta\cdot n=ggT(b,n)\)

Wir multiplizieren die beiden Gleichungen und erhalten:

\(ab\cdot\alpha\gamma+n\cdot (\beta\gamma b+\alpha\delta a+\beta\delta n)=ggT(a,n)\cdot ggT(b,n)\)

Jede Zahl, die \(ab\) und \(n\) teilt, teilt auch \(ab\cdot\alpha\gamma+n\cdot (\beta\gamma b+\alpha\delta a+\beta\delta n)\) und demnach auch das Produkt \(ggT(a,n)\cdot ggT(b,n)\). Insbesondere gilt dies auch für den \(ggT\) von \(ab\) und \(n\), d.h. \(ggT(ab,n)\mid ggT(a,n)\cdot ggT(b,n)\) \(\Box\)

André

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