Hallo Tinaaa,
\(\exists \alpha,\beta\in\mathbb{Z}:\alpha\cdot a+\beta\cdot n=ggT(a,n)\) und \(\exists\gamma,\delta\in\mathbb{Z}:\gamma\cdot b+\delta\cdot n=ggT(b,n)\)
Wir multiplizieren die beiden Gleichungen und erhalten:
\(ab\cdot\alpha\gamma+n\cdot (\beta\gamma b+\alpha\delta a+\beta\delta n)=ggT(a,n)\cdot ggT(b,n)\)
Jede Zahl, die \(ab\) und \(n\) teilt, teilt auch \(ab\cdot\alpha\gamma+n\cdot (\beta\gamma b+\alpha\delta a+\beta\delta n)\) und demnach auch das Produkt \(ggT(a,n)\cdot ggT(b,n)\). Insbesondere gilt dies auch für den \(ggT\) von \(ab\) und \(n\), d.h. \(ggT(ab,n)\mid ggT(a,n)\cdot ggT(b,n)\) \(\Box\)
André
