Rekonstruktionsaufgabe: nicht maßstäbliche Skizze einer Parabel-> funktionsgleichung bestimmen

Question

Aufgabe: Es handelt sich um eine nicht maßstäbliche Skizze einer Parabel. Bestimmen Sie deren Funktionslgleichung schritt für schritt und erklärt.

Danke

Answer 1

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ´( x ) = 2 * a * x + b

Aussagen
f ( 0 ) = 0
f ( u ) = 0
f ( u/2 ) = 9
f ´( u/2) = 0
∫ f ( x ) dx zwischen 0 und u = 36

Einsetzen
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x^2 + b * x
f ´( x ) = 2 * a * x + b
S ( x = ∫  a * x^2 + b * x dx
S ( x ) = a * x^3 / 3 +  b * x^2 / 2

Einsetzen
f ( u ) = 0
f ( u ) = a * u^2 + b * u = 0

f ( u/2 ) = 9
f ( u/2 ) =  a * (u/2)^2 + b * (u/2) = 9

f ´( u/2) = 0
f ´( u/2 ) = 2 * a * u/2 + b = 0

[ a * x^3 / 3 +  b * x^2 / 2 ] zwischen ( 0 und u ) = 36
a * u^3 / 3 +  b * u^2 / 2  - ( a * 0^3 / 3 +  b * 0^2 / 2 )
a * u^3 / 3 +  b * u^2 / 2 = 36

u ≠ 0
1.) a * u^2 + b * u = 0
2.) a * (u/2)^2 + b * (u/2) = 9
3.) 2 * a * u/2 + b = 0
4.) a * u^3 / 3 +  b * u^2 / 2 = 36

4 Gleichung mit 3 Unbekannten u,a,b

aus 1.) oder 3.) ergibt sich
u = - a / b

2.) a * (u/2)^2 + b * (u/2) = 9
4.) a * u^3 / 3 +  b * u^2 / 2 = 36

a = -1
b =  6
u = 6

meine Lösung ist leider auch nicht kürzer
als der Lösungsweg der anderen Antwort.

Comments

@georgborn

bis zu den vier Gleichungen mit drei Unbekannten bin ich noch gekommen, aber dann habe ich zwei Fragen:

Wenn ich u definieren will, dann nutze ich z.B. die 1. Gleichung: a * u² + b * u = 0  | : u

a * u + b = 0 | : a

u + b / a = 0 | - (b / a)

=> u = - b/a

Frage: Wie kommen Sie da auf

u = - a / b

 ?

Dann haben Sie sich ja die 2 Gleichungen 2.) und 4.) gesondert ausgesucht, um daraus dann a, b und u zu berechnen. Habe es auch ausprobiert, komme dann aber aber komische Ergebnisse, die auch überhaupt nicht stimmen. Mein Ansatz war es, die 4. Gleichung durch die 2. Gleichung zu teilen..

Könnten Sie das eventuell noch einmal kurz erklären? :)

Schon einmal vielen Dank und beste Grüße

Niclas02

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Hallo Niclas,
dir ist ein Fehler aufgefallen
u = - b / a

Die Gleichungen 2 und 4 stimmen.
Wird jetzt u = - b / a dort eingesetzt  ergibt sich
2.) - b^2 / ( 4a) = 9
4.) b^3 / ( 6 * a^2) = 36

aus 2.) folgt
a = - b^2 / 36
4.) zunächst umgeformt
b^3 = 36 * 6 * a^2
a eingesetzt in 4.)
b^3 = 36 * 6 * - b^2 / 36
b = 6
a = - b^2 / 36
a = -1
f ( x ) = -x^2 + 6 * x

u = - b / a
u = 6

Die 4.Gleichung durch die 2.zu teilen
dürfte allerdings nichts erbringen.

Bei Bedarf wieder melden.

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Hallo ich bin etwas spät hier, aber ich verstehe nicht wie Sie auf - b2 / ( 4a) = 9 kommen, wenn sie u einsetzen. Könnten Sie das erklären?

Answer 2

f(x) = a* ( x- u/2 ) ² + 9    Da Scheitel bei (u/2 ; 9)

wegen   f(0) = 0 ist  a = -36 / u²   #

∫ von 0 bis u  f(x) dx = 36

[  a/3 * ( x - u/2) 3  + 9x  ] in den Grenzen von 0 bis u  =  36

gibt 

a/3 *  (     ( u - u/2) 3   -  (  - u³ / 8 )   )  + 9u    = 36

a/3 *  (       u³/8)  +  (   u³ / 8 )   )  = 36  - 9u

a/3 *   (2/3) *(   u³ / 8 )   )  = 36  - 9u

wegen #

-12  / u²  *   (2/3) *(   u³ / 8 )   )  = 36  - 9u

-24/8 * u   = 36  - 9u

           6u = 36

           u = 6

also a =  -36 / u²    = -1

f(x) = ( x-3)² + 9

Comments

Wie kommt man auf ,,wegen   f(0) = 0 ist  a = -36 / u² " ?

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f(x) = a* ( x- u/2 ) ² + 9

und weil der Graph durch (0;0) geht:    f(0) = 0

also

0 = a* ( 0- u/2 ) ² + 9

-9 = a* ( - u/2 ) ²

-9 = a* ( u ² / 4)

a = -36 / u²  

Answer 3

Weg über die Nullstellenform der Parabel:
\(f(x)=a[x(x-u)]=a[x^2-ux)]\)

S\(( \frac{u}{2}|9)\):
\(f( \frac{u}{2})=a[\frac{u^2}{4}-\frac{u^2}{2}]=-\frac{1}{4}a u^2\)

\(-\frac{1}{4}a u^2=9\)

\(a=-\frac{36}{u^2}\)

\(f(x)=-\frac{36}{u^2}[x^2-ux]\)

\(36=-\frac{36}{u^2}\int\limits_{0}^{u}[x^2-ux]dx= \)

\(-u^2=\int\limits_{0}^{u}[x^2-ux]dx=[\frac{1}{3}x^3-\frac{u}{2} x^2  ]_{0}^{u}=\frac{1}{3}u^3-\frac{1}{2}u^3=-\frac{1}{6}u^3 \) 

\(u^2-\frac{1}{6}u^3=0\)

\(u^2(1-\frac{1}{6}u)=0\)

\(u_1,_2=0\) kommt nicht in Betracht.

\(u_3=6\)

S\(( 3|9)\)

\(f(x)=-x^2+6x\)

Answer 4

Hier noch eine Variante, wenn man die Formel für den Flächeninhalt unter einem Parabelbogen kennt.

Der Flächeninhalt unter einem Parabelbogen berechnet sich aus

A = 2/3 * g * h
A = 2/3 * g * 9 = 36 → g = 6

Damit kennt man die zweite Nullstelle bei x = 6.

Da die x-Koordinate vom Scheitelpunkt direkt zwischen den beiden Nullstellen liegt, ist der Scheitelpunkt bei (3 | 9)

Damit kann man jetzt direkt die Scheitelpunktform aufstellen und vereinfachen.

f(x) = - 9/3²·(x - 3)^2 + 9 = - (x - 3)^2 + 9

Bei Bedarf kann man auch noch durch allgemeinen Form ausmultiplizieren.

f(x) = - (x^2 - 6·x + 9) + 9 = - x^2 + 6·x