Pyramide. Formeln. Diagonalen der Grundfläche d= √(2a2). Sos, schnelle Hilfe :(

Question

Ich muss morgen ein kurzes Referat über eine Aufgabe halten. Ich verstehe diese allerdings nicht und meine Lehrerin hat mir eine Notiz dazu mitgegeben, welche mit der Aufgabe im Anhang ist. Ich brauche unbedingt Herleitung der Formeln, welche ich genau so auf eine Folie übertragen kann.

Ich gehe nicht davon aus, dass ich heute Abend noch eine Antwort kriege aber ein Versuch ist es wert.

Comments

brauchst du die Formeln nur für die Pyramide oder auch für die anderen Körper?

Gruß

Silvia

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Nur für die Pyramide :)

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Was mich leicht irritiert: Die Pyramide aus der Aufgabe hat als Grundfläche ein Dreieck, die auf der Skizze aber Quadrat.

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Die Pyramide rechts neben der Aufgabe ist gemeint.

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Für gerade quadratische Pyramiden kannst du die Formeln von hier verwenden.

https://www.matheretter.de/rechner/pyramide 

Ganz rechts im Bild hast du zwei zusammengeklebte quadratische Pyramiden.

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Wir reden von diesem Teil? Was sollst du davon bestimmen?

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Ich soll davon Volumen und Oberflächeninhalt bestimmen indem ich die Formeln herleite.

Answer 1

Das Volumen einer quadratischen Pyramide wird mit der Formel:

$$V = \frac{1}{3}·a^2 · h$$

Wir brauchen also die Höhe vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze. Diese Höhe ist die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten

a = 1/2 d, b = h, c = Kantenlänge = a

d ist die Hypotenuse des Dreiecks mit den Katheten, die ebenfalls die Seitenlänge a haben, weil in einem Oktaeder die Seitenlängen der Grundfläche der Kantenlänge entsprechen.

d² = a² + a²

d² = 2a²

$$d = \sqrt{a·a^2} = a·\sqrt{2}$$

die Hälfte davon ist dann:

$$\frac{a}{2} · \sqrt{2}$$

Wir haben also zur Berechnung der Höhe die Gleichung

Das können wir für h in die Formel zur Berechnung des Volumens einsetzen:

Da wir bei einem Oktaeder zwei dieser Pyramiden habenn, muss das Volumen noch mit 2 multipliziert werden. Die 2 im Zähler und 2 im Nenner werden gekürzt und damit bleibt

Oberfläche folgt...

Comments

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide setzt sich zusammen aus den Flächen der vier gleichseitigen Dreiecke, also

$$O = 4·\frac{a·h_a}{2}$$

mit zwei multipliziert für die Fläche des Oktaeders ergibt das

$$O = 4·a·h_a$$

ZurBerechnung der Höhe kommt wieder der Satz des Pythagoras zur Anwendung:

eingesetzt in die Oberlfächenformel ergibt sich

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Ein riiieeesen Dankeschön!!