l'hospital ergebnisse überprüfen

Question

Hey:)

Passen meine Ergebnisse?

i. Ableiten. Also (1/x)/1 -> 1/x also existiert kein Grenzwert.

ii. Ableiten. (8x-8)/(2x-1). Grenzwert ist 8/3.

iii. (2cos(x)-2cos(2x))/(2e^x--2-2x). Jedoch muss man nochmal ableiten. -(2sin(x)+4sin(2x))/(2e^x-2). Nochmal ableiten.-((2cos(x)+8cos(2x))/(2e^x) und dann hat man den Grenzwert 6/2=3.

iv. Umschreiben. (x/1)^x =x*(1/1)^x-1 =x . Also nochmal ableiten 1. Grenzwert 1.

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

(i)   

        lim_x→∞  ln(x) / x   =  lim_x→∞ (1/x) / 1  =  0/1   =  0

          [ Hier könnte man auch direkt mit der Dominanz des Polynoms x (→0) gegenüber                     ln(x) (→∞) argumentieren ]

(ii)   8/3 ist richtig

(iii)   

    lim_x→0  (2·SIN(x) - SIN(2·x)) / (2·e^x - 2 - 2·x - x^2)     = "0/0"  Hospital

   =   lim_x→0  (2·COS(x) - 2·COS(2·x)) / (2·e^x - 2·x - 2)   =  "0/0"  Hospital  

   =   lim_x→0   (4·SIN(2·x) - 2·SIN(x)) / (2·e^x - 2)    =    "0/0"  Hospital  

   =   lim_x→0   (8·COS(2·x) - 2·COS(x)) / (2·e^x)  =  6/2   =  3      (also richtig)

(iv)          Deine Umrechnung von x^x  ist so nicht richtig:

    lim_x→0+  x^x  =  lim_x→0+  (e^ln(x))^x  =   lim_x→0+ e^(x·ln(x))  =_#  e⁰   =  1     

        #    [  x * lnx) → 0, weil das Polynom x  (→ 0 )  den ln (→ - ∞)  dominiert ]     

Gruß Wolfgang

Comments

Bei der iii. müsste man da nicht eigentlich nochmal ableiten? Hab da auch gleiches Ergebnis:)

Danke Wolfgang:)

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Du hast recht. Sorry, habe beim Pasten eine Zeile nicht "erfasst".  Ist nachgetragen.

Und:   immer wieder gern :-)