Hey:)
Ich soll diese Ungleichung mittels Mittelwertsatz beweisen:
ex >= 1+x für x ∈[0, ∞[
Nun kann man ja einer der Seiten für f'(x) wählen.
Ich wähle hier e^x
Also ist e^x = (e^x-e^0)/(x-0) = (e^x-e^0)/x >1
Also existiert ein x>ξ>0 sodass die Ungleichung erfüllt ist
Ist bekannt, welcher Mittelwertsatz genau gemeint ist?
Vergleiche mal mit https://www.mathelounge.de/124060/ungleichung-beweisen-mit-dem-mittelwertsatz-e-x-1-x-wobei-x-0
Nun klar?
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung,
siehe hier
https://www.mathelounge.de/124060/ungleichung-beweisen-mit-dem-mittelwertsatz-e-x-1-x-wobei-x-0
Bei Dir ist der Beweis nicht ganz richtig. Es ex. ein \( \xi \in [0 , \infty) \) mit
$$ 1 \le e^\xi = \frac{e^x - 1}{x -0} $$ Und daraus folgt $$ e^x \ge 1 + x $$
Wieso auch gleich 1?
$$ e^0 = 1$$
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