Wie überprüft man, ob eine Funktion (streng) monoton ist?

Question

 

ich muss überprüfen, ob f(x) (streng) monoton ist.

Wie würden die einzelnen Schritte aussehen um zu überprüfen ob eine Funktion (streng) monoton ist? Bitte an diesem Beispiel erklären.

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Zur Monotonie (ene Definition und Eigenschaften)

https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen 

Beachte "Abschnittweise definierte Funktionen" . Das ist das, was du hier im Beispiel hast.

Answer 1

Je nach deinen Vorkenntnissen etwa so:

Im Bereich ]0;2[ ist f ' (x) = 2x  > 0 , also f hier streng monoton.

und f(2) = 4 .

im Bereich x > 2 gilt  f(x) = x+5 .

Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung 1, also

streng monoton und weil f(2) = 4 < f(2+h) für alle h ∈ℝ gilt,

ist f insgesamt streng monoton.

Comments

Hallo mathef,

ich habe zwei Fragen. Die erste bezieht sich auf deine Rechnung: Bei der erste Hälfte deiner Rechnung hast du die erste Ableitung von f(x)=x² berechnet und durch einsetzen der Werte im Intervall überprüft, ob der Wert  > 0.  Die zweite Hälfte deiner Rechnung verstehe ich ab "...und f(2)=4..." nicht. Und für f(x)=x+5 muss man keine Ableitung berechnen?

Meine zweite Frage bezieht auf die Methoden zur Lösung dieser Aufgabe. Wir "kennen" noch keine Ableitungen, also gibt es denn eine andere Methode zur Lösung der Aufgabe?

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Ja, bei so einfachen Fällen geht es auch ohne Ableitung:

Im Bereich [0;2] ist es die Quadratfunktion.

Wenn also a<b ist und beide aus  [0;2] .

dann musst du zeigen:   a² < b²  .

<=>                         0  <  ( b²  -  a²  )  


<=>                         0  <  ( b -  a )   * ( b + a )


Der 1. Faktor ist pos. da a<b und der zweite Faktor weil beide  aus  [0;2] .


Also ist f über   [0;2] streng monoton steigend.


Für x >2 gilt ja f(x) = x+5 . 


Also wieder:  wenn in dem Bereich  a < b dann auch


                           f(a)   <  f(b)   weil   a + 5   < b+5 .


Also ist f auch streng monoton  steigend über   ℝ^>2   .


Dann musst du noch den Fall   a  aus  [0;2]  und b > 2 untersuchen.

Dann ist  f(a) ≤ f(2) = 4   und   f(b) < 0+5 = 5

also insgesamt auch hier f(a) < f(b) .

Also f insgesamt streng mon. steigend.   q.e.d.