Question

Integrieren Sie mit der Substitutionsmethode die Funktion f(x) = (1+x)/(1-x)² 

ich weiß leider nicht, wie ich hier anfangen soll.

Danke schon einmal für eure Hilfe.

Gruß Sven

Comments

Was ist das Ziel?

Substitution kann man z.B. bei Gleichungen oder beim Integrieren brauchen.

Was an diesem Term findest du denn hier speziell unangenehm?

---

Hallo Lu,

ich soll diese Aufgabe durch Integration mit der Substitutionsmethode lösen. :-)

---

EDIT: Habe nun eine andere Überschrift und Einleitung gesetzt.

Answer 1

f(x) = (1+x)/(1-x)²  

Substitution: u = 1-x

du/dx = -1

du = - dx

Genügt das als Anfang?

Kontrolliere das Resultat erst am Schluss mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx)%2F(1-x)%5E2

Comments

vielen Dank für deine Mühe,

ich habe die Aufgabe in den Integralrechner eingegeben und er hat anfangs die Schritte angezeigt, die ich nicht nachvollziehen kann:

umschreiben:∫ x+1/(x-1)   --> kann man einfach aus dem 1-x ein x-1 machen?

dann dieser Schritt:

schreibe x+1 als x-1+2 und teile auf:

∫(1/x-1)+2/(x-1)² dx        --> wie kommt man auf die 2 auf einmal?

---

Mach einfach die Substitution nach Schema.

f(x) = (1+x)/(1-x)²   

∫ (1+x)/(1-x)²   dx

                              |   1-x = u, 1-u = x, dx = -du 

= ∫ (1+(1-u))/(1-(1-u))²  (-du)

= ∫ (2-u)/(u)²  (-1)*du       | Bruch *(-1) . 

= ∫ (u-2)/(u)²    du     | Bruchsubtraktion

= ∫ (u)/u² -2/u²    du 

= ∫ u^-1 - 2u^-2 du 

usw.

zum Schluss dann rücksubstituieren.

Answer 2

∫ (1+x)/(1-x)²   dx

   u=1-x  und  1+x = 2-u und du/dx = -1  also du = -dx

= ∫ (2-u)/u²   -du 

=  - ∫ 2/u² du  + ∫ u/u2 du

=  - ∫ 2/u² du  + ∫ 1/u du

= 2 / u    + ln ( |u| ) + c

= 2/(1-x)    +  ln ( |1-x| ) + c