Taylorpolynom zum Approximieren von ln(sin(1.5))

Question

Hey:)

Ich will gerade diese Aufgabe machen.

Hab jetzt zuerst die ersten vier Ableitungen von f(x) bestimmt.

f'(x)= cos(x)/sin(x)

f"(x)=-((sin²(x)-cos²(x))/(sin²(x))

f'''(x)= -(2cos(x)/sin³(x)

f""(x)=( 2sin²(x)+6cos²(x))/sin⁴(x)

Und jetzt muss man es ja in die Formel einsetzen:

Also hab ich -1+0-(1/2 *(x-(pi/2)))

Und jetzt komm ich nicht weiter. Würde mich über Hilfe freuen :)

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

ich hoffe, ich habe mich zu nächtlicher Stunde nicht verrechnet: 

> Hab jetzt zuerst die ersten vier Ableitungen von f(x) bestimmt.

f(x) = sin(ln(x)

f '(x)= cos(x)/sin(x)         

f "(x)=-((sin²(x) + cos²(x))/(sin²(x))       =           - 1/SIN²(x)        

f '''(x)= - (2cos(x)/sin³(x)                                     2·COS(x) / SIN³(x) 

Folgefehler:

f ""(x)= ( 2sin²(x)+6cos²(x))/sin⁴(x)                  - 6·COS²(x) / SIN⁴(x) - 2 / SIN²(x)

Taylorpolynom  n-ten Grades zur Funktion f  im Entwicklungspunkt a:

T_n(f,x,a)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{n} \)  f^(k)(a) / k! · (x - a)^k 

T₄(f,x,π/2) =  

       LN(SIN(π/2))·(x - π/2)⁰ + COS(π/2) /  SIN(π/2) ·(x - π/2)¹ 

                      + (- 1/SIN²(π/2)) / 2! ·(x - π/2)² 

                     + 2·COS(π/2) / SIN³(π/2) / 3! · (x - π/2)³

                     + (- 6·COS²(π/2) / SIN⁴(π/2) - 2/SIN²(π/2)) / 4! · (x - π/2)⁴

Zusammenfassen (da wird jede Menge = 0 :-)) :

T₄(f,x,π/2) =  

          -1 / 2 · (x - π/2)²  -   (x - π/2)⁴ / 12

x = 1, 5  einsetzen ergibt   T₄(f, 1,5, π/2)  ≈  - 0.002508153389

LN(sin(1,5))  ≈  - 0.002508156191

| LN(SIN(1,5)) - T₄(f, 1,5, π/2) |   ≈ 0,0000000028    (zehn Kommastellen!)

Gruß Wolfgang 

Comments

Bei der f"" wäre es da nicht eigentlich

=-(2sin(x)²+6cos(x)²)/sin(x)⁴

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Und wäre nicht T₄= (x-(π/2))²-2(x-(π/2))⁴? :)

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Ich hab dann für T4, wo ich x=1.5 einsetzt habe

0.00496187719 raus.

Und dann | ln(sin(1.5)-T4(f,3/2, pi/2) |= 0.002453721

Passt das so? :)

Grüßle Sonnenblume

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Hallo Sonnenblume,

-(2sin(x)²+ 6cos(x)²) / sin(x)⁴ 

 ist das Gleiche wie    - 6·COS²(x) / SIN⁴(x) - 2 / SIN²(x)

Aber beim Einsetzen von π/2 in T4 bleibt hinten tatsächlich noch ein Summand mehr stehen

 -1 / 2 · (x - π/2)²  -   (x - π/2)⁴ / 12

, habe das ergänzt.

Gruß Wolfgang

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Okay, dann hab ich mal wieder nicht gut aufgepasst.

Kannst du mir vielleicht noch erklären, warum ich dann auf ganz andere Werte komm, eben ich die in den Kommentaren Ableitung benutze

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Ohne deine genauen Rechnungen kann man da schwer etwas sagen.

 Beim 3. Glied - das hat mit den von dir anders geschriebenen Ableitungen gar nichts zu tun- 

   (- 1/SIN²(π/2)) / 2! ·(x - π/2)²  heißt es z.B. bei dir 

T₄=  (x-(π/2))² - 2(x-(π/2))⁴ 

da fehlen doch wohl das Minuszeichen und die Division durch  2! 

und beim 5. Glied    - (x - π/2)⁴ / 12

hast du wohl nicht durch 4! dividiert

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Schau noch mal in den letzten ergänzten Kommentar.