Für beliebige Teilmengen A1, . . . , An G gilt A1 ∪ . . . ∪ An = A1 ∩ . . . ∩ An.

Question

Zeigen Sie die Verallgemeinerung vom Satz von De Morgan: Für beliebige Teilmengen  A₁, . . . , A_n einer Grundmenge G gilt

A₁ ∪ . . . ∪ A_n = A₁ ∩ . . . ∩ A_n.

Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion und den Satz von de Morgan: A ∪ B = A ∩ B

Viele Dank!

Answer 1

Sei A' das Komplement von A. Die Sätze von de Morgan lautet dann $$(A\cup B)''=A'\cap B' \\ (A\cap B)'=A'\cup B'$$

Die Verallgemeinerung vom Satz von De Morgan lautet $$(A_1 \cup \ldots \cup A_n)'=A_1'\cap \ldots \cap A_n'$$

Induktionsanfang: Für  n=1 haben wir dass A1'=A1'  ✓

Induktionsbehauptung: Wir behaupten dass der Satz für n=i gilt, also $$(A_1 \cup \ldots \cup A_i)'=A_1'\cap \ldots \cap A_i'$$

Induktionsschritt: Wir wollen zeigen dass es auch für n=i+1 gilt.

Wir haben dass $$(A_1 \cup \ldots \cup A_i\cup A_{i+1})'=((A_1 \cup \ldots \cup A_i)\cup A_{i+1})'$$ Wir benutzen dass $$(A\cup B)'=A'\cap B'$$ wobei $$A=(A_1 \cup \ldots \cup A_i) \ \text{ und } \ B=A_{i+1}$$

Wir haben dann $$((A_1 \cup \ldots \cup A_i)\cup A_{i+1})'=(A_1 \cup \ldots \cup A_i)'\cap A_{i+1}'$$ Von der Induktionsbehauptung haben wir dass $$(A_1 \cup \ldots \cup A_i)'\cap A_{i+1}'=A_1'\cap \ldots \cap A_i'\cap A_{i+1}'$$