0 Daumen
1,2k Aufrufe

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F( x1 , x2 )=69* (x1 ^0.15) *(x2^0.32) ,


wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 9 bzw. 2 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 932 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Markieren Sie die korrekten Aussagen.

a. Bei einem Output von 932 ME werden bei einer Menge von x1 =46.36 die Kosten minimal. b. Bei einem Output von 932 ME werden bei einer Menge von x2 =523.54 die Kosten minimal. c. Der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum beträgt λ=3.51. d. Das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren beträgt x1 x2 =0.09. e. Im Optimum betragen die Produktionskosten C( x1 , x2 )=1537.91.

von


Die Produktionsfunktion eines Unternehmens lautet, welche Aussage ist richtig?

image

Hast du die richtige Antwort gefunden ?

1 Antwort

0 Daumen

Da wird Lagrange insuniert (es ginge auch ohne).


Die Zielfunktion 9x1 + 2x2 (Minimum) und die Nebenbedingung 69 * (x10.15) * (x20.32) = 932 werden also umgeschrieben zu

9x1 + 2x2 + λ (69 x10.15 x20.32 - 932)

und das nach den drei Variablen abgeleitet und jeweils gleich Null gesetzt, was das behufs Finden des Optimums (Kostenminimums) zu lösende Gleichungssystem mit drei linearen Gleichungen und drei Unbekannten ergibt:

10.35 λ x20.32/x10.85 + 9 = 0
22.08 λ x10.15/x20.68 + 2 = 0
69 x10.15 x20.32 - 932 = 0

Aufgelöst ergibt das x1 = 54.5357 und x2 = 523.543 (und λ = -3.51088).


Wenn man Lagrange nicht verwenden wollen würde, kann man sich vergegenwärtigen, dass sich die Graphen der (linearen) Zielfunktion und der (nichtlinearen) Nebenbedingung beim Optimum berühren müssen (in der Graphik steht y anstatt x2):

Bild Mathematik

Das heisst, man löst die Nebenbedingung nach x2 auf, setzt die erste Ableitung nach x1 gleich -9/2 (der Steigung der Zielfunktion) und erhält so ebenfalls x1 = 54.5357.

von 15 k

Das Lustige dabei, Mathematica findet die Lösung nicht :)


Minimize[{9 x + 2 y, 69 x^0.15 y^0.32 == 932}, {x, y}]


kommt nicht zu einem Ende, und auch nicht die hilfreichere Formulierung zum Finden einer nur numerischen Lösung:

NMinimize[{9 x + 2 y, 69 x^0.15 y^0.32 == 932, {x, y} ∈ Reals}, {x, y}]

Bild Mathematik Bild Mathematik Kannst du mir weiterhelfen ?

Etwas war falsch

Bild Mathematik

Bei der ersten Gleichung würde ich durch x10.65 dividieren anstatt multiplizieren.

Bei der zweiten Gleichung fehlt der Faktor 15.39 und ich würde ebenfalls durch x20.73 dividieren anstatt multiplizieren.

Bei der dritten Gleichung habe ich 57 anstatt 69.

Da haben wir es ja gleichzeitig bemerkt. Kommst du jetzt auf die Lösung?

Na ja , es dauert ein bißchen. Ich hoffe , dass ich lösen kann.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist in diesem Fall x1=0.579592 und x2=1.11778

Dann sind alle Aussagen falsch

Hast du denn dasselbe bekommen?

Nein ich könnte nicht

Die drei Gleichungen sind


19.95 λ x20.27 / x10.65 + 5 = 0

15.39 λ x10.35 / x20.73 + 2 = 0

57 x10.35 x20.27 - 952 = 0


und meine erste Lösung war offensichtlich falsch.


x1 = 70.4663, x2 = 135.899, λ = -1.05742

Ja ich habe auch Jetzt gefunden aber dann sind alle Aussagen falsch oder ?

Wie kann ich die Produktionskosten finden ?

Die Formel steht im ersten Satz der Aufgabenstellung.

C(×1,×2)=57*70.4663^0.35*135.899^0.27

So?

Ja ich habe geschafft , nur c ist richtig. Danke für deine Hilfe @döschwo

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute:

F(x,y)= 17 * (x^0,39) * (y^0,46)

wobei x1 und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 7 bzw. 7 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 659 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Markieren Sie die korrekten Aussagen.

a. Bei einem Output von 659 ME werden bei einer Menge von x1 =160.89 die Kosten minimal.
b. Bei einem Output von 659 ME werden bei einer Menge von x2 =79.73 die Kosten minimal.
c. Der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum beträgt λ=0.28.
d. Das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren beträgt x1 x2 =0.85.
e. Im Optimum betragen die Produktionskosten C( x1 , x2 )=1031.34.

Das löst du so wie das Beispiel weiter oben, aber mit deinen Zahlen anstatt den dort verwendeten Zahlen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community