Y-Wert der Extrema einer Logarithmusschar. fa(x) = xa*(1-ln(x))

Question

Hallo zu folgender Aufgabe habe ich einpaar Fragen:

Gegeben ist die Funktion fa(x) = x^a*(1-ln(x)), Berechne Extrema und Wendepunkte

f ' a(x) = x^a-1 ( a - a ln(x) -1)

notw. Bedingung: f 'a(x) = 0   hinreich. Bedingung: f '' a(x) ≠ 0

Extrema: a-a ln(x)-1 = 0

                        ln(x ) = (a-1) / a | *e

                              x = e^ ((a-1)/a)

Y-Wert = fa(e^ ((a-1)/a)) = e^ ((a-1)/a) (1-ln(e^ ((a-1)/a)))

Leider komme ich hier auf keinen Plausiblen Wert, welcher beispielsweise a = 2 den HP (1,65 / 1,35) angibt.

Wendepunkt: notw. Bedingung f '' a(x) = 0     hinreich. Bedingung: f ''' (x)  ≠ 0

f '' a(X) = x^a-2(a²-a² * ln(x) + a * ln(x) - 3a+1)

Wendepunkt: a² - a² * ln(x) + a * ln(x) -3a+1 = 0 | +3a - 1

                                                    ln(x) +a * ln(x) = 3a-1 |:a

                                                               ln(x) ² = (3a-1) / a |*e

                                                                    x² = e^ ((3a-1) / a)

                                                                        x = √e^ ((3a-1) / a)

Stimmt der WP soweit? Wie berechne ich hier den Y-Wert und ggf die dritte Ableitung um die hinreich. Bedingung zu erfüllen?

Ich danke für detaillierte Antworten! MfG Venim

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EDIT: Deine Exponenten enthalten teilweise Klammern. Das wird leider vom Editor nicht richtig umgewandelt. Ich habe nun nach deinen Caret-Zeichen einen Leerschlag eingefügt. So sollte das lesbarer sein und du kannst wohl gelegentlich mit einer Antwort rechnen.

Answer 1

Hallo Venim,

 f_a(x) = x^a * (1-ln(x))   [ im Folgenden f(x) ] 

f(  e^{1 - 1/a} )  =  e^{a - 1} / a

und das ergibt für a=2 deinen Hochpunkt.

für f "(x) erhalte ich:

- x^{a - 2} ·(a·(a - 1) ·LN(x) - a² + 3·a - 1)

mit der Nullstelle:

x = e^[- 1/(a - 1) - 1/a + 1]

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

ich danke dir für die Antwort. Jetzt müsste nur noch der Y-Wert der Schar festgestellt werden. Bei a=2 kann man ja den Y-Wert ermitteln, indem der X-Wert in f(x) eingesetzt wird, wie sieht dies jedoch bei x=e^{a - 1} / a aus?

Ich danke MfG

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e^{a - 1} / a   ist   der y-Wert  der Nullstelle

  x = e^{1 - 1/a}  der 1. Ableitung      [  x = e^ ( (a-1) /a ) ]

und man erhält ihn auch durch Einsetzen in f(x)