Grenzwert mit mittelwertsatz der Integralrechnung

Question

Hey:)

Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen??

Comments

Wäre doch einfach:

(cos(2x⁴)- cos(x⁴))/ (x⁴) und das würde ja für x gegen 0. null durch null heißen, also l'Hospital 

(2x³* cos(2x⁴)-4x³* cos(x⁴))/4x³

Ist wieder null durch null also ableiten...

Passt das so?

Answer 1

Der Mittelwertsatz sagt $$\int_a^bf(x)\,dx=(b-a)f(\xi)$$ mit einem $\xi\in[a,b]$, falls $f$ stetig ist. Im Beispiel also $$\int_{x^4}^{2x^4}\cos^2y\,dy=x^4\cos^2\eta$$ mit einem $\eta$, für das $x^4\le\eta\le2x^4$ gilt. Kannst Du das damit zu Ende bringen?

Comments

ich versteh, was du gemacht hast. Nur weiß ich leider nicht wie es weitergehen würde

---

Du setzt $x^4\cos\eta^2$ für das Integral ein, was denn sonst? $$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^4}\int_{x^4}^{2x^4}\cos y^2\,dy=\lim_{x\to0}\cos\eta^2$$

---

Und das ergibt 0

---

Nie im Leben.

---

Ich hab doch x⁴ *cos n und für x gegen 0 hab ich 0*cos n also 0

---

1 oder? 

Sorry, hab übersehen, dass x⁴ verschwindet

---

Wie zeige ich, dass der Grenzwert gehen 1 geht?

---

Sitze gerade vor der selben Aufgabe :D (HM2 bei PD Dr. W.-P. D.).

Die Aufgabe wird, wie hier von Fakename bereits richtig vorgeführt, mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gelöst (bei uns im Skript Satz 18.11 für den Fall, dass g ≡ 1).

Wie wir wissen gilt ξ ∈ [x⁴, 2x⁴], anders formuliert: x⁴ ≤ ξ ≤ 2x⁴. Da wir nun den Grenzwert für x gegen 0 suchen, muss für ξ gelten, dass 0 ≤ ξ ≤ 0 ist, was gleichbedeutend ist mit ξ = 0. Also erhält man insgesamt cos(0) = 1 als Ergebnis.