Welche der folgenden Abbildungen sind R-linear? Ecce homo

Question

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Kann mir vielleicht jemand erklären wie in der Aufgabe die verschiedenen ℝ zubeachten sind?Allgemein weiß ich, das man dies mit a·f(x) = f(a·x) und f(x+y) = f(x) + f(y) prüft. a bis c habe ich bereits gelöst, glaube ich zumindest, wobei ich zu dem Ergebnis gekommen bin, dass a nicht ℝ-linear ist, b und c aber wohl.
Was muss man berücksichtigen, wenn dort statt ℝ zb. ℝ ²   steht oder bei einem zb. Injektivität ins Spiel kommt?
Kann mir jemand Beispiele geben, wie man diese Aufgaben lösen könnte?

Comments

wie kommst Du darauf, dass b und c linear sind? Was ist bei g) mit A(7) gemeint? Ist das eine Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar?

"Was muss man berücksichtigen, wenn dort statt ℝ zb. ℝ ²   steht oder bei einem zb. Injektivität ins Spiel kommt?"

ℝ² steht hier doch einfach nur für einen Vektorraum der Dimension 2 und die Rechenregeln die dort gelten, musst du berücksichtigen - z.B. die komponentenweise Additon von Vektoren etc. Um die Injektivität brauchst Du Dich nicht zu kümmern. Einfach nur die beiden Kriterien f(ax) = af(x) und f(x+y) = f(x) + f(y) berücksichtigen.