Welche der folgenden Abbildungen sind linear:

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungen sind linear:

(i) f₁ : ℝ² → ℝ², (x, y) ↦ (4x − 2y, 3x)

(ii) f₂ : V → W, v ↦ 0, wobei der Körper K beliebig ist und V und W zwei K-Vektorräume sind

(iii) f₃ : ℂ → ℂ, z ↦\overline{z} als Abbildung zwischen C-Vektorräume

(iv) f₃ : ℂ → ℂ, z ↦\overline{z} als Abbildung zwischen R-Vektorräumen

(v) f₅ : R → Abb(ℝ, ℝ), x ↦ (y ↦ xy)

Hallo, ich wollte fragen ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe.

Mein Ergebnis:

  
(i)= linear ; (ii)= linear ; (iii)= linear ; (iv)= linear ; (v)= nicht linear.

wäre nett wenn mir jemand sagen kann ob das richtig ist

gruß

Answer 1

(iii) nicht linear; denn

f( (1+i)*(2+i) ) = (1-i)*(2-i) ≠ (1+i)*(2-i)=(1+i)*f(2+i)

Comments

oh stimmt danke !

ist der Rest richtig?

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f₅ ist linear ( s. ermanus); denn es wird jedem x ∈ ℝ

die Abbildung f:ℝ→ℝ zugeordnet mit f(y)=x*y.

Also zu x1+x2 ist es die Abbildung g mit g(y)=(x1+x2)*y

und das ist die Summe der Abbildungen mit

f1(y)=x1*y und f2(y)=x2*y.

Und zu einer reellen Zahl a ist die Abbildung, die a*x

zugeordnet wird die Abbildung mit g(y)=(a*x)*y = a*(x*y)

also g=a*f.

Answer 2

(v): \(f_5\) ist linear !