MWS der Differentialrechnung und dessen Anwendung am Beispiel

Question

ich habe Verständnisprobleme mit dem MWS der Differentialrechnung. Einige Artikel habe ich schon gelesen, jedoch verstehe ich die Anwendungen nicht. Ich wäre euch also sehr dankbar, wenn mir jemand diesen am Beispiel erläutern würde,wie es genau funktioniert.

Ich habe folgende Ungleihungskette:

 im Intervall −1 < x < ∞.

Wie geht man denn genau vor und beweist dies mit dem MWS der Differentialrechnung?

Answer 1

Für den zweiten Teil der Ungl. hätte ich eine Idee:

√(x+1) ≤ 1+x/2

<=>  1 + x/2 -  √(x+1)   ≥ 0

Sei nun f(x) =  1 + x/2 -  √(x+1)

Dann wäre die Beh.: Für alle x≥1 gilt  f(x) ≥ 0  .


Zeigen wir erstmal für x≥0

f(0) = 0 und angenommen, es gäbe ein  x> 0 mit f(x)<0.

Dann wäre  ( f(x)  - f( 0 )  )  /  ( x - 0 )

                     =  f(x)  /  x   < 0

Da es ein Quotient aus neg. und pos. Wert wäre.

Nach dem MWS gibt es dann ein ξ zwischen 0 und x

mit     ( f(x)  - f( 0 )  )  /  ( x - 0 )    =  f ' ( ξ )

Also wäre auch    f ' ( ξ )  < 0.

Nun ist aber   f ' ( ξ )  = 1/2  -   1 / (2√(1+ξ ) )

also müsst gelten     1/2  <   1 / (2√(1+ξ ) )

damit für die Kehrwerte (da alles pos. ist )

                             2 > 2√(1+ξ )

<=>                      1 > √(1+ξ )

aber wegen der Monotonie der √ ist √(1+ξ ) > 1.


Widerspruch.


Fehlt noch der Nachweis für -1 ≤ x<0 .

Das geht aber wohl ähnlich.  Allerdings wäre dann ja

die Annahme  f(x) / x  > 0   (wegen negativ / negativ)

und würde auf  1 < √(1+ξ ) führen, was für negatives x

nicht stimmen kann.

Nachweis für x=-1 ergänzen, dann hat man wohl den ersten Teil.

 

Answer 2

Hi,

Erste Ungleichung, zu zeigen ist
$$ 1 + \frac{x}{ \sqrt{1+x} } \le \sqrt{1 + x }  \text{ für } x > -1  $$
Definiere \( f(x) = 1 + \frac{x}{ \sqrt{1+x} } - \sqrt{1 + x } \), dann gilt \( f(0) = 0 \) und deshalb gibt es ein \( \xi \) s.d. gilt
$$ \frac{ f(x) }{x} = f'(\xi) = -\frac{\xi}{4\sqrt{\xi + 1)^3}} \text{ mit } \xi > -1 $$
Fall 1) \( x \in [0, \infty) \) dann gilt \( f'(\xi) \le 0 \) und es folgt \(  \frac{f(x)}{x} \le 0 \) und die Ungleichung ist bewiesen, weil \( x \ge 0 \) gilt.

Fall 2) \( x \in (-1, 0 ) \) dann gilt \( f'(\xi) \ge 0 \) also \( \frac{f(x)}{x} \ge 0 \) und wegen \( x < 0 \) folgt \( f(x) < 0 \) und die Ungelichung ist beweisen.

Die zweite Ungleichung geht genauso

Comments

Wenn du solche Schwierigkeiten beim Differenzieren komplizierter Funktionen hast (und damit meine ich nicht die fehlende Klammer), dann nimm doch einfachere :   f(x) = √(x+1)  ist hervorragend geeignet .

Wegen  f '(x) = 1/ ( 2*√(x+1) )  und  f "(x) = -1/ (4*√(x+1)^3 ) < 0  folgt zunächst, dass f '  monoton fällt, also  a < b  ⇒  f '(a) > f '(b) .

1)  x = 0  :  die Ungleichungskette ist trivial. 

2)  x > 0  :   MWS  ⇒  ex  ξ mit  0 < ξ < x  so : 
     f '(ξ) = ( f(x) - f(0) ) / (x - 0) = ( √(x+1) - 1 ) / x  >  f '(x) = 1/ ( 2*√(x+1) )  ,

     also     ( √(x+1) - 1 ) / x  >  1/ ( 2*√(x+1) ) .
     Hieraus folgt einerseits durch     |*x (>0)   |+1   die linke Ungleichung
     und andererseits  durch  |*x   |*√(x+1)   und anschließendes  |+√(x+1)   |-x/2   die rechte.

3)  -1 < x < 0  :   MWS ⇒ ex  ξ mit  -1 < ξ < x  so : 
     f '(ξ) = ( f(x) - f(0) ) / (x - 0) = ( √(x+1) - 1 ) / x  <  f '(x) = 1/ ( 2*√(x+1) )  ,

     also     ( √(x+1) - 1 ) / x  <  1/ ( 2*√(x+1) ) .
     Hieraus folgt einerseits durch     |*x (<0)   |+1   die linke Ungleichung
     und andererseits  durch  |*x   |*√(x+1)   und anschließendes  |+√(x+1)   |-x/2   die rechte.